Theorem sumeq2dv 13474

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 13473	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   sum_csu 13457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-sum 13458

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  13475  2sumeq2dv  13476  sumeq12dv  13477  sumeq12rdv  13478  fsumf1o  13494  fsumss  13496  fsumsplit  13511  isummulc1  13527  isumdivc  13528  isumge0  13530  fsum2dlem  13534  fsumshftm  13545  fsum0diag2  13547  fsummulc1  13549  fsumdivc  13550  fsumneg  13551  fsumsub  13552  fsum2mul  13553  telfsumo2  13566  fsumparts  13569  hashiun  13585  ackbijnn  13592  binomlem  13593  binom1p  13595  incexclem  13600  incexc  13601  incexc2  13602  isum1p  13605  arisum  13623  trireciplem  13625  geoserg  13629  geo2sum  13634  mertenslem1  13645  mertenslem2  13646  mertens  13647  efaddlem  13679  rpnnen2lem10  13807  rpnnen2lem11  13808  fsumdvds  13877  pcfac  14266  ramcl  14395  lagsubg2  16050  sylow2a  16428  rrxcph  21552  trirn  21555  rrxmval  21560  rrxmet  21563  ovoliunnul  21646  ovolicc2lem4  21659  uniioombllem4  21723  vitalilem5  21749  itg1addlem4  21834  itg1addlem5  21835  itg1mulc  21839  itg10a  21845  itg1climres  21849  itgss  21946  itgeqa  21948  itgsplit  21970  elply2  22321  elplyd  22327  plyeq0lem  22335  plyaddlem1  22338  plymullem1  22339  coeeulem  22349  coeeq2  22367  coemullem  22374  coe1termlem  22382  plycjlem  22400  plyrecj  22403  dvply1  22407  elqaalem3  22444  aareccl  22449  aannenlem1  22451  taylpval  22489  dvtaylp  22492  pserdvlem2  22550  pserdv2  22552  abelthlem8  22561  abelthlem9  22562  abelth  22563  logtayl  22762  leibpi  22994  birthdaylem2  23003  amgmlem  23040  emcllem5  23050  fsumharmonic  23062  ftalem5  23071  basellem3  23077  basellem8  23082  sgmval2  23138  fsumdvdscom  23182  dvdsflsumcom  23185  musum  23188  musumsum  23189  muinv  23190  fsumdvdsmul  23192  sgmppw  23193  1sgmprm  23195  chtlepsi  23202  pclogsum  23211  vmasum  23212  logfac2  23213  chpval2  23214  chpchtsum  23215  logexprlim  23221  logfacrlim2  23222  perfectlem2  23226  dchrsum2  23264  sumdchr2  23266  dchrhash  23267  dchr2sum  23269  sum2dchr  23270  pcbcctr  23272  bposlem2  23281  lgsquadlem1  23350  lgsquadlem2  23351  chebbnd1lem1  23375  rplogsumlem1  23390  rplogsumlem2  23391  rpvmasumlem  23393  dchrisumlem1  23395  dchrisumlem2  23396  dchrmusum2  23400  dchrvmasumlem1  23401  dchrvmasum2lem  23402  dchrvmasum2if  23403  dchrvmasumiflem1  23407  dchrvmasumiflem2  23408  dchrisum0flblem1  23414  dchrisum0fno1  23417  rpvmasum2  23418  dchrisum0lem2a  23423  dchrisum0lem2  23424  dchrisum0lem3  23425  dchrisum0  23426  rplogsum  23433  mudivsum  23436  mulogsumlem  23437  mulogsum  23438  mulog2sumlem1  23440  mulog2sumlem2  23441  mulog2sumlem3  23442  vmalogdivsum2  23444  vmalogdivsum  23445  2vmadivsumlem  23446  logsqvma  23448  logsqvma2  23449  selberglem1  23451  selberglem2  23452  selberg  23454  selberg2  23457  selberg3lem1  23463  selberg4lem1  23466  selberg4  23467  pntrsumo1  23471  selbergr  23474  selberg3r  23475  selberg4r  23476  selberg34r  23477  pntsval2  23482  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntpbnd1  23492  pntlemk  23512  pntlemo  23513  axcgrrflx  23886  axcgrid  23888  axsegconlem1  23889  axsegconlem9  23897  ax5seglem1  23900  ax5seglem2  23901  ax5seglem9  23909  axlowdimlem16  23929  axlowdimlem17  23930  ecgrtg  23955  hashclwwlkn  24498  sspival  25177  indsum  27526  eulerpartlemsv1  27785  eulerpartlemsf  27788  eulerpartlemgs2  27809  eulerpartlemn  27810  plymulx0  27994  signsvfn  28029  lgamcvg2  28087  subfaclim  28122  binomfallfaclem2  28589  binomrisefac  28591  bpolylem  29237  bpolydiflem  29243  fsumkthpow  29245  rrnmet  29779  jm2.22  30394  jm2.23  30395  flcidc  30581  phisum  30617  isumneg  30963  stoweidlem37  31156  fourierdlem81  31307  fourierdlem93  31319  frghash2spot  31782  usgreghash2spotv  31785  usgreghash2spot  31788  numclwwlk4  31829  numclwwlk6  31832  altgsumbc  31880  altgsumbcALT  31881  fsumshftdOLD  33630