MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2dv Structured version   Unicode version

Theorem sumeq2dv 13172
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
sumeq2dv  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 sumeq2dv.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
21ralrimiva 2794 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
32sumeq2d 13171 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   sum_csu 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799  df-sum 13156
This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  13173  2sumeq2dv  13174  sumeq12dv  13175  sumeq12rdv  13176  fsumf1o  13192  fsumss  13194  fsumsplit  13208  isummulc1  13222  isumdivc  13223  isumge0  13225  fsum2dlem  13229  fsumshftm  13240  fsum0diag2  13242  fsummulc1  13244  fsumdivc  13245  fsumneg  13246  fsumsub  13247  fsum2mul  13248  fsumtscopo2  13258  fsumparts  13261  hashiun  13277  ackbijnn  13283  binomlem  13284  binom1p  13286  incexclem  13291  incexc  13292  incexc2  13293  isum1p  13296  arisum  13314  trireciplem  13316  geoserg  13320  geo2sum  13325  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  mertens  13338  efaddlem  13370  rpnnen2lem10  13498  rpnnen2lem11  13499  fsumdvds  13568  pcfac  13953  ramcl  14082  lagsubg2  15733  sylow2a  16109  rrxcph  20876  trirn  20879  rrxmval  20884  rrxmet  20887  ovoliunnul  20970  ovolicc2lem4  20983  uniioombllem4  21046  vitalilem5  21072  itg1addlem4  21157  itg1addlem5  21158  itg1mulc  21162  itg10a  21168  itg1climres  21172  itgss  21269  itgeqa  21271  itgsplit  21293  elply2  21644  elplyd  21650  plyeq0lem  21658  plyaddlem1  21661  plymullem1  21662  coeeulem  21672  coeeq2  21690  coemullem  21697  coe1termlem  21705  plycjlem  21723  plyrecj  21726  dvply1  21730  elqaalem3  21767  aareccl  21772  aannenlem1  21774  taylpval  21812  dvtaylp  21815  pserdvlem2  21873  pserdv2  21875  abelthlem8  21884  abelthlem9  21885  abelth  21886  logtayl  22085  leibpi  22317  birthdaylem2  22326  amgmlem  22363  emcllem5  22373  fsumharmonic  22385  ftalem5  22394  basellem3  22400  basellem8  22405  sgmval2  22461  fsumdvdscom  22505  dvdsflsumcom  22508  musum  22511  musumsum  22512  muinv  22513  fsumdvdsmul  22515  sgmppw  22516  1sgmprm  22518  chtlepsi  22525  pclogsum  22534  vmasum  22535  logfac2  22536  chpval2  22537  chpchtsum  22538  logexprlim  22544  logfacrlim2  22545  perfectlem2  22549  dchrsum2  22587  sumdchr2  22589  dchrhash  22590  dchr2sum  22592  sum2dchr  22593  pcbcctr  22595  bposlem2  22604  lgsquadlem1  22673  lgsquadlem2  22674  chebbnd1lem1  22698  rplogsumlem1  22713  rplogsumlem2  22714  rpvmasumlem  22716  dchrisumlem1  22718  dchrisumlem2  22719  dchrmusum2  22723  dchrvmasumlem1  22724  dchrvmasum2lem  22725  dchrvmasum2if  22726  dchrvmasumiflem1  22730  dchrvmasumiflem2  22731  dchrisum0flblem1  22737  dchrisum0fno1  22740  rpvmasum2  22741  dchrisum0lem2a  22746  dchrisum0lem2  22747  dchrisum0lem3  22748  dchrisum0  22749  rplogsum  22756  mudivsum  22759  mulogsumlem  22760  mulogsum  22761  mulog2sumlem1  22763  mulog2sumlem2  22764  mulog2sumlem3  22765  vmalogdivsum2  22767  vmalogdivsum  22768  2vmadivsumlem  22769  logsqvma  22771  logsqvma2  22772  selberglem1  22774  selberglem2  22775  selberg  22777  selberg2  22780  selberg3lem1  22786  selberg4lem1  22789  selberg4  22790  pntrsumo1  22794  selbergr  22797  selberg3r  22798  selberg4r  22799  selberg34r  22800  pntsval2  22805  pntrlog2bndlem4  22809  pntrlog2bndlem5  22810  pntpbnd1  22815  pntlemk  22835  pntlemo  22836  axcgrrflx  23128  axcgrid  23130  axsegconlem1  23131  axsegconlem9  23139  ax5seglem1  23142  ax5seglem2  23143  ax5seglem9  23151  axlowdimlem16  23171  axlowdimlem17  23172  ecgrtg  23197  sspival  24104  indsum  26448  eulerpartlemsv1  26708  eulerpartlemsf  26711  eulerpartlemgs2  26732  eulerpartlemn  26733  plymulx0  26917  signsvfn  26952  lgamcvg2  27010  subfaclim  27045  binomfallfaclem2  27512  binomrisefac  27514  bpolylem  28160  bpolydiflem  28166  fsumkthpow  28168  rrnmet  28699  jm2.22  29315  jm2.23  29316  flcidc  29502  phisum  29538  isumneg  29746  stoweidlem37  29803  hashclwwlkn  30481  frghash2spot  30627  usgreghash2spotv  30630  usgreghash2spot  30633  numclwwlk4  30674  numclwwlk6  30677  altgsumbc  30718  altgsumbcALT  30719
  Copyright terms: Public domain W3C validator