Theorem sumeq2dv 13163

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2789	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 13162	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   sum_csu 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424  df-seq 11790  df-sum 13147

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  13164  2sumeq2dv  13165  sumeq12dv  13166  sumeq12rdv  13167  fsumf1o  13183  fsumss  13185  fsumsplit  13199  isummulc1  13213  isumdivc  13214  isumge0  13216  fsum2dlem  13220  fsumshftm  13230  fsum0diag2  13232  fsummulc1  13234  fsumdivc  13235  fsumneg  13236  fsumsub  13237  fsum2mul  13238  fsumtscopo2  13248  fsumparts  13251  hashiun  13267  ackbijnn  13273  binomlem  13274  binom1p  13276  incexclem  13281  incexc  13282  incexc2  13283  isum1p  13286  arisum  13304  trireciplem  13306  geoserg  13310  geo2sum  13315  mertenslem1  13326  mertenslem2  13327  mertens  13328  efaddlem  13360  rpnnen2lem10  13488  rpnnen2lem11  13489  fsumdvds  13558  pcfac  13943  ramcl  14072  lagsubg2  15721  sylow2a  16097  rrxcph  20737  trirn  20740  rrxmval  20745  rrxmet  20748  ovoliunnul  20831  ovolicc2lem4  20844  uniioombllem4  20907  vitalilem5  20933  itg1addlem4  21018  itg1addlem5  21019  itg1mulc  21023  itg10a  21029  itg1climres  21033  itgss  21130  itgeqa  21132  itgsplit  21154  elply2  21548  elplyd  21554  plyeq0lem  21562  plyaddlem1  21565  plymullem1  21566  coeeulem  21576  coeeq2  21594  coemullem  21601  coe1termlem  21609  plycjlem  21627  plyrecj  21630  dvply1  21634  elqaalem3  21671  aareccl  21676  aannenlem1  21678  taylpval  21716  dvtaylp  21719  pserdvlem2  21777  pserdv2  21779  abelthlem8  21788  abelthlem9  21789  abelth  21790  logtayl  21989  leibpi  22221  birthdaylem2  22230  amgmlem  22267  emcllem5  22277  fsumharmonic  22289  ftalem5  22298  basellem3  22304  basellem8  22309  sgmval2  22365  fsumdvdscom  22409  dvdsflsumcom  22412  musum  22415  musumsum  22416  muinv  22417  fsumdvdsmul  22419  sgmppw  22420  1sgmprm  22422  chtlepsi  22429  pclogsum  22438  vmasum  22439  logfac2  22440  chpval2  22441  chpchtsum  22442  logexprlim  22448  logfacrlim2  22449  perfectlem2  22453  dchrsum2  22491  sumdchr2  22493  dchrhash  22494  dchr2sum  22496  sum2dchr  22497  pcbcctr  22499  bposlem2  22508  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  chebbnd1lem1  22602  rplogsumlem1  22617  rplogsumlem2  22618  rpvmasumlem  22620  dchrisumlem1  22622  dchrisumlem2  22623  dchrmusum2  22627  dchrvmasumlem1  22628  dchrvmasum2lem  22629  dchrvmasum2if  22630  dchrvmasumiflem1  22634  dchrvmasumiflem2  22635  dchrisum0flblem1  22641  dchrisum0fno1  22644  rpvmasum2  22645  dchrisum0lem2a  22650  dchrisum0lem2  22651  dchrisum0lem3  22652  dchrisum0  22653  rplogsum  22660  mudivsum  22663  mulogsumlem  22664  mulogsum  22665  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  mulog2sumlem3  22669  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  logsqvma  22675  logsqvma2  22676  selberglem1  22678  selberglem2  22679  selberg  22681  selberg2  22684  selberg3lem1  22690  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrsumo1  22698  selbergr  22701  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntsval2  22709  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntpbnd1  22719  pntlemk  22739  pntlemo  22740  axcgrrflx  22982  axcgrid  22984  axsegconlem1  22985  axsegconlem9  22993  ax5seglem1  22996  ax5seglem2  22997  ax5seglem9  23005  axlowdimlem16  23025  axlowdimlem17  23026  ecgrtg  23051  sspival  23958  indsum  26332  eulerpartlemsv1  26586  eulerpartlemsf  26589  eulerpartlemgs2  26610  eulerpartlemn  26611  plymulx0  26795  signsvfn  26830  lgamcvg2  26888  subfaclim  26923  binomfallfaclem2  27389  binomrisefac  27391  bpolylem  28037  bpolydiflem  28043  fsumkthpow  28045  rrnmet  28569  jm2.22  29186  jm2.23  29187  flcidc  29373  phisum  29409  isumneg  29618  stoweidlem37  29675  hashclwwlkn  30353  frghash2spot  30499  usgreghash2spotv  30502  usgreghash2spot  30505  numclwwlk4  30546  numclwwlk6  30549