Theorem sumeq2dv 13607

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2868	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 13606	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   sum_csu 13590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-sum 13591

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  13608  2sumeq2dv  13609  sumeq12dv  13610  sumeq12rdv  13611  fsumf1o  13627  fsumss  13629  fsumsplit  13644  isummulc1  13660  isumdivc  13661  isumge0  13663  fsum2dlem  13667  fsumshftm  13678  fsum0diag2  13680  fsummulc1  13682  fsumdivc  13683  fsumneg  13684  fsumsub  13685  fsum2mul  13686  telfsumo2  13699  fsumparts  13702  hashiun  13718  ackbijnn  13722  binomlem  13723  binom1p  13725  incexclem  13730  incexc  13731  incexc2  13732  isum1p  13735  arisum  13753  trireciplem  13755  geoserg  13759  geo2sum  13764  mertenslem1  13775  mertenslem2  13776  mertens  13777  efaddlem  13910  rpnnen2lem10  14041  rpnnen2lem11  14042  fsumdvds  14113  pcfac  14502  ramcl  14631  lagsubg2  16461  sylow2a  16838  rrxcph  21990  trirn  21993  rrxmval  21998  rrxmet  22001  ovoliunnul  22084  ovolicc2lem4  22097  uniioombllem4  22161  vitalilem5  22187  itg1addlem4  22272  itg1addlem5  22273  itg1mulc  22277  itg10a  22283  itg1climres  22287  itgss  22384  itgeqa  22386  itgsplit  22408  elply2  22759  elplyd  22765  plyeq0lem  22773  plyaddlem1  22776  plymullem1  22777  coeeulem  22787  coeeq2  22805  coemullem  22813  coe1termlem  22821  plycjlem  22839  plyrecj  22842  dvply1  22846  elqaalem3  22883  aareccl  22888  aannenlem1  22890  taylpval  22928  dvtaylp  22931  pserdvlem2  22989  pserdv2  22991  abelthlem8  23000  abelthlem9  23001  abelth  23002  logtayl  23209  leibpi  23470  birthdaylem2  23480  amgmlem  23517  emcllem5  23527  fsumharmonic  23539  ftalem5  23548  basellem3  23554  basellem8  23559  sgmval2  23615  fsumdvdscom  23659  dvdsflsumcom  23662  musum  23665  musumsum  23666  muinv  23667  fsumdvdsmul  23669  sgmppw  23670  1sgmprm  23672  chtlepsi  23679  pclogsum  23688  vmasum  23689  logfac2  23690  chpval2  23691  chpchtsum  23692  logexprlim  23698  logfacrlim2  23699  perfectlem2  23703  dchrsum2  23741  sumdchr2  23743  dchrhash  23744  dchr2sum  23746  sum2dchr  23747  pcbcctr  23749  bposlem2  23758  lgsquadlem1  23827  lgsquadlem2  23828  chebbnd1lem1  23852  rplogsumlem1  23867  rplogsumlem2  23868  rpvmasumlem  23870  dchrisumlem1  23872  dchrisumlem2  23873  dchrmusum2  23877  dchrvmasumlem1  23878  dchrvmasum2lem  23879  dchrvmasum2if  23880  dchrvmasumiflem1  23884  dchrvmasumiflem2  23885  dchrisum0flblem1  23891  dchrisum0fno1  23894  rpvmasum2  23895  dchrisum0lem2a  23900  dchrisum0lem2  23901  dchrisum0lem3  23902  dchrisum0  23903  rplogsum  23910  mudivsum  23913  mulogsumlem  23914  mulogsum  23915  mulog2sumlem1  23917  mulog2sumlem2  23918  mulog2sumlem3  23919  vmalogdivsum2  23921  vmalogdivsum  23922  2vmadivsumlem  23923  logsqvma  23925  logsqvma2  23926  selberglem1  23928  selberglem2  23929  selberg  23931  selberg2  23934  selberg3lem1  23940  selberg4lem1  23943  selberg4  23944  pntrsumo1  23948  selbergr  23951  selberg3r  23952  selberg4r  23953  selberg34r  23954  pntsval2  23959  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntpbnd1  23969  pntlemk  23989  pntlemo  23990  axcgrrflx  24419  axcgrid  24421  axsegconlem1  24422  axsegconlem9  24430  ax5seglem1  24433  ax5seglem2  24434  ax5seglem9  24442  axlowdimlem16  24462  axlowdimlem17  24463  ecgrtg  24488  hashclwwlkn  25038  rusgranumwlks  25158  frghash2spot  25265  usgreghash2spotv  25268  usgreghash2spot  25271  numclwwlk4  25312  numclwwlk6  25315  sspival  25849  indsum  28252  eulerpartlemsv1  28559  eulerpartlemsf  28562  eulerpartlemgs2  28583  eulerpartlemn  28584  plymulx0  28768  signsvfn  28803  lgamcvg2  28861  subfaclim  28896  binomfallfaclem2  29403  binomrisefac  29405  bpolylem  30038  bpolydiflem  30044  fsumkthpow  30046  rrnmet  30565  jm2.22  31176  jm2.23  31177  flcidc  31364  phisum  31400  binomcxplemnn0  31495  binomcxplemdvsum  31501  binomcxplemnotnn0  31502  mccllem  31844  isumneg  31847  sumnnodd  31875  dvnmul  31979  dvnprodlem2  31983  dvnprodlem3  31984  stoweidlem37  32058  dirkertrigeqlem2  32120  dirkertrigeqlem3  32121  fourierdlem81  32209  fourierdlem83  32211  fourierdlem93  32221  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  elaa2lem  32255  etransclem23  32279  etransclem24  32280  etransclem31  32287  etransclem32  32288  etransclem35  32291  etransclem46  32302  altgsumbc  33195  altgsumbcALT  33196  nn0sumshdiglemA  33494  nn0sumshdiglemB  33495  nn0sumshdig  33498  aacllem  33604  fsumshftdOLD  35080