Theorem sumeq2dv 12452

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
2	1	ralrimiva 2749	. 2 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
3	2	sumeq2d 12451	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   sum_csu 12434

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  12453  2sumeq2dv  12454  sumeq12dv  12455  sumeq12rdv  12456  fsumf1o  12472  fsumss  12474  fsumsplit  12488  isummulc1  12502  isumdivc  12503  isumge0  12505  fsum2dlem  12509  fsumshftm  12519  fsum0diag2  12521  fsummulc1  12523  fsumdivc  12524  fsumneg  12525  fsumsub  12526  fsum2mul  12527  fsumtscopo2  12537  fsumparts  12540  hashiun  12556  ackbijnn  12562  binomlem  12563  binom1p  12565  incexclem  12571  incexc  12572  incexc2  12573  isum1p  12576  arisum  12594  trireciplem  12596  geoserg  12600  geo2sum  12605  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  mertens  12618  efaddlem  12650  rpnnen2lem10  12778  rpnnen2lem11  12779  fsumdvds  12848  pcfac  13223  ramcl  13352  lagsubg2  14956  sylow2a  15208  ovoliunnul  19356  ovolicc2lem4  19369  uniioombllem4  19431  vitalilem5  19457  itg1addlem4  19544  itg1addlem5  19545  itg1mulc  19549  itg10a  19555  itg1climres  19559  itgss  19656  itgeqa  19658  itgsplit  19680  elply2  20068  elplyd  20074  plyeq0lem  20082  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  coeeulem  20096  coeeq2  20114  coemullem  20121  coe1termlem  20129  plycjlem  20147  plyrecj  20150  dvply1  20154  elqaalem3  20191  aareccl  20196  aannenlem1  20198  taylpval  20236  dvtaylp  20239  pserdvlem2  20297  pserdv2  20299  abelthlem8  20308  abelthlem9  20309  abelth  20310  logtayl  20504  leibpi  20735  birthdaylem2  20744  amgmlem  20781  emcllem5  20791  fsumharmonic  20803  ftalem5  20812  basellem3  20818  basellem8  20823  sgmval2  20879  fsumdvdscom  20923  dvdsflsumcom  20926  musum  20929  musumsum  20930  muinv  20931  fsumdvdsmul  20933  sgmppw  20934  1sgmprm  20936  chtlepsi  20943  pclogsum  20952  vmasum  20953  logfac2  20954  chpval2  20955  chpchtsum  20956  logexprlim  20962  logfacrlim2  20963  perfectlem2  20967  dchrsum2  21005  sumdchr2  21007  dchrhash  21008  dchr2sum  21010  sum2dchr  21011  pcbcctr  21013  bposlem2  21022  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  chebbnd1lem1  21116  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem1  21136  dchrisumlem2  21137  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem1  21142  dchrvmasum2lem  21143  dchrvmasum2if  21144  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmasumiflem2  21149  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0fno1  21158  rpvmasum2  21159  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  dchrisum0  21167  rplogsum  21174  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  mulog2sumlem3  21183  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  logsqvma  21189  logsqvma2  21190  selberglem1  21192  selberglem2  21193  selberg  21195  selberg2  21198  selberg3lem1  21204  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  pntrsumo1  21212  selbergr  21215  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntsval2  21223  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntpbnd1  21233  pntlemk  21253  pntlemo  21254  sspival  22190  indsum  24373  lgamcvg2  24792  subfaclim  24827  binomfallfaclem2  25307  binomrisefac  25309  axcgrrflx  25757  axcgrid  25759  axsegconlem1  25760  axsegconlem9  25768  ax5seglem1  25771  ax5seglem2  25772  ax5seglem9  25780  axlowdimlem16  25800  axlowdimlem17  25801  bpolylem  25998  bpolydiflem  26004  fsumkthpow  26006  trirn  26347  rrnmet  26428  jm2.22  26956  jm2.23  26957  flcidc  27247  phisum  27386  isumneg  27595  stoweidlem37  27653  frghash2spot  28166  usgreghash2spotv  28169  usgreghash2spot  28172

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-sum 12435