MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1d Unicode version

Theorem sumeq1d 12450
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq1d.1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
sumeq1d  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq1d
StepHypRef Expression
1 sumeq1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
2 sumeq1 12438 . 2  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  sumeq12dv  12455  sumeq12rdv  12456  fsumf1o  12472  sumss  12473  fsumcllem  12481  fsum1  12490  fzosump1  12493  fsump1  12495  fsum2d  12510  fsumcom2  12513  fsumshftm  12519  fsumrev2  12520  fsumtscopo  12536  fsumtscop  12538  fsumtscop2  12539  fsumparts  12540  fsumiun  12555  bcxmas  12570  incexclem  12571  incexc2  12573  isumsplit  12575  isum1p  12576  arisum  12594  arisum2  12595  geoser  12601  geolim  12602  geo2sum2  12606  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  mertens  12618  efcvgfsum  12643  eftlub  12665  effsumlt  12667  eirrlem  12758  bitsinv1  12909  bitsinvp1  12916  pcfac  13223  prmreclem4  13242  prmreclem6  13244  ovoliunlem1  19351  uniioombllem3  19430  itg11  19536  dvfsumlem1  19863  dvfsumlem4  19866  dvfsum2  19871  elplyr  20073  coeeu  20097  coeeq  20099  plyco  20113  0dgrb  20118  dvply2g  20155  vieta1lem2  20181  vieta1  20182  aaliou3lem5  20217  aaliou3lem6  20218  aaliou3lem7  20219  taylpfval  20234  pserdvlem2  20297  abelthlem6  20305  logfac  20448  advlogexp  20499  emcllem2  20788  emcllem3  20789  emcllem7  20793  harmonicbnd  20795  harmonicbnd2  20796  harmonicbnd3  20799  harmonicbnd4  20802  chtval  20846  chpval  20858  chtfl  20885  chpfl  20886  chtprm  20889  chtnprm  20890  chpp1  20891  chtdif  20894  prmorcht  20914  musum  20929  muinv  20931  logfaclbnd  20959  logfacbnd3  20960  logexprlim  20962  chtppilimlem1  21120  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem1  21136  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138  dchrisum  21139  dchrisum0fval  21152  dchrisum0ff  21154  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0  21167  mulog2sumlem1  21181  2vmadivsumlem  21187  log2sumbnd  21191  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  pntrsumbnd  21213  pntrsumbnd2  21214  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem4  21227  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntlemf  21252  subfacval2  24826  subfaclim  24827  fprodefsum  25251  brcgr  25743  axlowdimlem16  25800  bpolydiflem  26004  mettrifi  26353  rrncmslem  26431  stoweidlem17  27633  stoweidlem20  27636  stirlinglem12  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seq 11279  df-sum 12435
  Copyright terms: Public domain W3C validator