Theorem sumdmdlem2 11991

Description: Lemma for sumdmdi 11992.

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	|- A e. CH
sumdmdi.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem2	|- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (A +H B) = (A vH B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem sumdmdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnsh 11117	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. ~H -> (span` {y}) e. SH)
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B e. CH
3	2	chshii 10730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. SH
4		shsub2 10922	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((span` {y}) e. SH /\ B e. SH) -> (span` {y}) C_ (B +H (span` {y})))
5	3, 4	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((span` {y}) e. SH -> (span` {y}) C_ (B +H (span` {y})))
6	1, 5	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ~H -> (span` {y}) C_ (B +H (span` {y})))
7		spansnid 11119	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ~H -> y e. (span` {y}))
8	6, 7	sseldd 2620	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. ~H -> y e. (B +H (span` {y})))
9	8	ad2antrl 442	. . . . . . . . . 10 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ (y e. ~H /\ -. y e. (A +H B))) -> y e. (B +H (span` {y})))
10		spansna 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. ~H /\ y =/= 0h) -> (span` {y}) e. Atoms)
11		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y =/= 0h <-> -. y = 0h)
12	10, 11	sylan2br 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. ~H /\ -. y = 0h) -> (span` {y}) e. Atoms)
13		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x = (span` {y}) -> (x vH B) = ((span` {y}) vH B))
14	13	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x = (span` {y}) -> ((x vH B) i^i (A vH B)) = (((span` {y}) vH B) i^i (A vH B)))
15	13	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x = (span` {y}) -> ((x vH B) i^i A) = (((span` {y}) vH B) i^i A))
16	15	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x = (span` {y}) -> (((x vH B) i^i A) vH B) = ((((span` {y}) vH B) i^i A) vH B))
17	14, 16	sseq12d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x = (span` {y}) -> (((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) <-> (((span` {y}) vH B) i^i (A vH B)) C_ ((((span` {y}) vH B) i^i A) vH B)))
18	17	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((span` {y}) e. Atoms -> (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (((span` {y}) vH B) i^i (A vH B)) C_ ((((span` {y}) vH B) i^i A) vH B)))
19	12, 18	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ -. y = 0h) -> (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (((span` {y}) vH B) i^i (A vH B)) C_ ((((span` {y}) vH B) i^i A) vH B)))
20		spansnj 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((B e. CH /\ y e. ~H) -> (B +H (span` {y})) = (B vH (span` {y})))
21		chjcom 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((B e. CH /\ (span` {y}) e. CH) -> (B vH (span` {y})) = ((span` {y}) vH B))
22		spansnch 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. ~H -> (span` {y}) e. CH)
23	21, 22	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((B e. CH /\ y e. ~H) -> (B vH (span` {y})) = ((span` {y}) vH B))
24	20, 23	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((B e. CH /\ y e. ~H) -> (B +H (span` {y})) = ((span` {y}) vH B))
25	2, 24	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. ~H -> (B +H (span` {y})) = ((span` {y}) vH B))
26	25	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. ~H -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) = (((span` {y}) vH B) i^i (A vH B)))
27	25	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. ~H -> ((B +H (span` {y})) i^i A) = (((span` {y}) vH B) i^i A))
28	27	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. ~H -> (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) = ((((span` {y}) vH B) i^i A) vH B))
29	26, 28	sseq12d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. ~H -> (((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) <-> (((span` {y}) vH B) i^i (A vH B)) C_ ((((span` {y}) vH B) i^i A) vH B)))
30	29	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ -. y = 0h) -> (((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) <-> (((span` {y}) vH B) i^i (A vH B)) C_ ((((span` {y}) vH B) i^i A) vH B)))
31	19, 30	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. ~H /\ -. y = 0h) -> (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B)))
32	31	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> ((y e. ~H /\ -. y = 0h) -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B)))
33	32	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ y e. ~H) -> (-. y = 0h -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B)))
34		ssid 2634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B C_ B
35		sneq 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y = 0h -> {y} = {0h})
36	35	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y = 0h -> (span` {y}) = (span` {0h}))
37		spansn0 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (span` {0h}) = 0H
38	36, 37	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y = 0h -> (span` {y}) = 0H)
39	38	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y = 0h -> (B +H (span` {y})) = (B +H 0H))
40	3	shs0i 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (B +H 0H) = B
41	39, 40	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = 0h -> (B +H (span` {y})) = B)
42	41	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = 0h -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) = (B i^i (A vH B)))
43		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (B i^i (A vH B)) C_ B
44		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- A e. CH
45	2, 44	chub2i 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B C_ (A vH B)
46	34, 45	ssini 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- B C_ (B i^i (A vH B))
47	43, 46	eqssi 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (B i^i (A vH B)) = B
48	42, 47	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = 0h -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) = B)
49	41	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = 0h -> ((B +H (span` {y})) i^i A) = (B i^i A))
50	49	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = 0h -> (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) = ((B i^i A) vH B))
51	2, 44	chincli 11016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (B i^i A) e. CH
52	51, 2	chjcomi 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B i^i A) vH B) = (B vH (B i^i A))
53	2, 44	chabs1i 11074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (B vH (B i^i A)) = B
54	52, 53	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((B i^i A) vH B) = B
55	50, 54	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = 0h -> (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) = B)
56	48, 55	sseq12d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = 0h -> (((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) <-> B C_ B))
57	34, 56	mpbiri 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = 0h -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B))
58	33, 57	pm2.61d2 143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ y e. ~H) -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B))
59	58	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ (y e. ~H /\ -. y e. (A +H B))) -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B))
60	44	chshii 10730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A e. SH
61	3, 60	shsub2i 10975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B C_ (A +H B)
62	44, 2	sumdmdlem 11990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ -. y e. (A +H B)) -> ((B +H (span` {y})) i^i A) = (B i^i A))
63	62	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. ~H /\ -. y e. (A +H B)) -> (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) = ((B i^i A) vH B))
64	63, 54	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. ~H /\ -. y e. (A +H B)) -> (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) = B)
65	64	sseq1d 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. ~H /\ -. y e. (A +H B)) -> ((((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) C_ (A +H B) <-> B C_ (A +H B)))
66	61, 65	mpbiri 211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. ~H /\ -. y e. (A +H B)) -> (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) C_ (A +H B))
67	66	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ (y e. ~H /\ -. y e. (A +H B))) -> (((B +H (span` {y})) i^i A) vH B) C_ (A +H B))
68	59, 67	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ (y e. ~H /\ -. y e. (A +H B))) -> ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) C_ (A +H B))
69	68	sseld 2619	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ (y e. ~H /\ -. y e. (A +H B))) -> (y e. ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) -> y e. (A +H B)))
70		elin 2786	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. ((B +H (span` {y})) i^i (A vH B)) <-> (y e. (B +H (span` {y})) /\ y e. (A vH B)))
71	69, 70	syl5ibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ (y e. ~H /\ -. y e. (A +H B))) -> ((y e. (B +H (span` {y})) /\ y e. (A vH B)) -> y e. (A +H B)))
72	9, 71	mpand 765	. . . . . . . . 9 |- ((A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) /\ (y e. ~H /\ -. y e. (A +H B))) -> (y e. (A vH B) -> y e. (A +H B)))
73	72	exp32 408	. . . . . . . 8 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (y e. ~H -> (-. y e. (A +H B) -> (y e. (A vH B) -> y e. (A +H B)))))
74	73	com34 40	. . . . . . 7 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (y e. ~H -> (y e. (A vH B) -> (-. y e. (A +H B) -> y e. (A +H B)))))
75		pm2.18 97	. . . . . . 7 |- ((-. y e. (A +H B) -> y e. (A +H B)) -> y e. (A +H B))
76	74, 75	syl8 27	. . . . . 6 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (y e. ~H -> (y e. (A vH B) -> y e. (A +H B))))
77	44, 2	chjcli 11013	. . . . . . 7 |- (A vH B) e. CH
78	77	cheli 10735	. . . . . 6 |- (y e. (A vH B) -> y e. ~H)
79	76, 78	syl5 20	. . . . 5 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (y e. (A vH B) -> (y e. (A vH B) -> y e. (A +H B))))
80	79	pm2.43d 79	. . . 4 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (y e. (A vH B) -> y e. (A +H B)))
81	80	ssrdv 2622	. . 3 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (A vH B) C_ (A +H B))
82	44, 2	chsleji 11014	. . 3 |- (A +H B) C_ (A vH B)
83	81, 82	jctil 316	. 2 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> ((A +H B) C_ (A vH B) /\ (A vH B) C_ (A +H B)))
84		eqss 2631	. 2 |- ((A +H B) = (A vH B) <-> ((A +H B) C_ (A vH B) /\ (A vH B) C_ (A +H B)))
85	83, 84	sylibr 217	1 |- (A.x e. Atoms ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (A +H B) = (A vH B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   i^i cin 2592   C_ wss 2593  {csn 3044  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420  0hc0v 10423  SHcsh 10429  CHcch 10430   +H cph 10432  spancspn 10433   vH chj 10434  0Hc0h 10436  Atomscat 10465

This theorem is referenced by:  sumdmdi 11992  dmdbr4ati 11993  dmdbr5ati 11994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-shsum 10906  df-span 10907  df-chj 10908  df-cv 11851  df-at 11910

Copyright terms: Public domain