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Theorem sumdmdlem2 27907
Description: Lemma for sumdmdi 27908. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
CH
31, 2chjcli 26945 . . . . . . 7  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
43cheli 26720 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ~H )
5 spansnsh 27049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  SH )
62chshii 26715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  SH
7 shsub2 26813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( span `  {
y } )  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( span `  { y } )  C_  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
85, 6, 7sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  C_  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
9 spansnid 27051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
108, 9sseldd 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) ) )
1110ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
y  e.  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
12 elin 3655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  /\  y  e.  ( A  vH  B
) ) )
13 df-ne 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =/=  0h  <->  -.  y  =  0h )
14 spansna 27838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
1513, 14sylan2br 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( span `  {
y } )  e. HAtoms
)
16 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( x  vH  B
)  =  ( (
span `  { y } )  vH  B
) )
1716ineq1d 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
1816ineq1d 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  =  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
) )
1918oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)
2017, 19sseq12d 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  <->  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
2120rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
span `  { y } )  e. HAtoms  ->  ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  ( (
( span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( A. x  e. HAtoms  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  (
( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
23 spansnj 27135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  =  ( B  vH  ( span `  { y } ) ) )
24 spansnch 27048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  CH )
25 chjcom 26994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( span `  { y } )  e.  CH )  ->  ( B  vH  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
2624, 25sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  vH  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
2723, 26eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
282, 27mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  ( ( span `  { y } )  vH  B ) )
2928ineq1d 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3028ineq1d 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  =  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
) )
3130oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)
3229, 31sseq12d 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
3332adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  <->  ( (
( span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
3422, 33sylibrd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( A. x  e. HAtoms  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( ( y  e. 
~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
3635expdimp 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  y  e.  ~H )  ->  ( -.  y  =  0h  ->  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
37 ssid 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  B
38 sneq 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  0h  ->  { y }  =  { 0h } )
3938fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  0h  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { 0h } ) )
40 spansn0 27029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( span `  { 0h } )  =  0H
4139, 40syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  0h  ->  ( span `  { y } )  =  0H )
4241oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  0h  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  ( B  +H  0H ) )
436shs0i 26937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  +H  0H )  =  B
4442, 43syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0h  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  B )
4544ineq1d 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( B  i^i  ( A  vH  B ) ) )
46 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  B
472, 1chub2i 26958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  C_  ( A  vH  B )
4837, 47ssini 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  B  C_  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )
4946, 48eqssi 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )  =  B
5045, 49syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  B )
5144ineq1d 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  =  ( B  i^i  A ) )
5251oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( B  i^i  A )  vH  B ) )
532, 1chincli 26948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  i^i  A )  e. 
CH
5453, 2chjcomi 26956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  i^i  A )  vH  B )  =  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )
552, 1chabs1i 27006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )  =  B
5654, 55eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  i^i  A )  vH  B )  =  B
5752, 56syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  B )
5850, 57sseq12d 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  B  C_  B ) )
5937, 58mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) )
6036, 59pm2.61d2 163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) )
6160adantrr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
) )
621, 2sumdmdlem 27906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  A )  =  ( B  i^i  A
) )
6362oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( B  i^i  A )  vH  B ) )
6463, 56syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  =  B )
651chshii 26715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e.  SH
666, 65shsub2i 26861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  C_  ( A  +H  B
)
6764, 66syl6eqss 3520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  C_  ( A  +H  B
) )
6867adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  A )  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) )
6961, 68sstrd 3480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  ( A  +H  B ) )
7069sseld 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7112, 70syl5bir 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  /\  y  e.  ( A  vH  B
) )  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) )
7211, 71mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7372exp32 608 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( -.  y  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  ( A  vH  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
7473com34 86 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  ( -.  y  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
75 pm2.18 113 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  y  e.  ( A  +H  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( A  +H  B
) )
7674, 75syl8 72 . . . . . 6  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) ) )
774, 76syl5 33 . . . . 5  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) )
7877pm2.43d 50 . . . 4  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7978ssrdv 3476 . . 3  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  vH  B
)  C_  ( A  +H  B ) )
801, 2chsleji 26946 . . 3  |-  ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )
8179, 80jctil 539 . 2  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B ) 
C_  ( A  +H  B ) ) )
82 eqss 3485 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  <->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
8381, 82sylibr 215 1  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782    i^i cin 3441    C_ wss 3442   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ~Hchil 26407   0hc0v 26412   SHcsh 26416   CHcch 26417    +H cph 26419   spancspn 26420    vH chj 26421   0Hc0h 26423  HAtomscat 26453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573  ax-hcompl 26690
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-subgo 25875  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-ssp 26206  df-ph 26299  df-cbn 26350  df-hnorm 26456  df-hba 26457  df-hvsub 26459  df-hlim 26460  df-hcau 26461  df-sh 26695  df-ch 26709  df-oc 26740  df-ch0 26741  df-shs 26796  df-span 26797  df-chj 26798  df-pjh 26883  df-cv 27767  df-at 27826
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