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Theorem sumdmdlem 25844
Description: Lemma for sumdmdi 25846. The span of vector  C not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  =  ( B  i^i  A ) )

Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3560 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  <->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C }
) )  /\  y  e.  A ) )
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
CH
32chshii 24652 . . . . . . . 8  |-  B  e.  SH
4 spansnsh 24986 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( span `  { C }
)  e.  SH )
5 shsel 24739 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( span `  { C } )  e.  SH )  ->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C }
) )  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C } ) y  =  ( z  +h  w
) ) )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C } ) y  =  ( z  +h  w
) ) )
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  A  e. 
CH
87cheli 24657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
92cheli 24657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  B  ->  z  e.  ~H )
10 elspansncl 24990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  ->  w  e.  ~H )
11 hvsubadd 24501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  ( z  +h  w )  =  y ) )
12 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  +h  w )  =  y  <->  y  =  ( z  +h  w
) )
1311, 12syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
148, 9, 10, 13syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
15143expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w ) ) )
167chshii 24652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  A  e.  SH
1716, 3shsvsi 24792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ( A  +H  B ) )
18 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  (
( y  -h  z
)  e.  ( A  +H  B )  <->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
1917, 18syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2115, 20sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( y  =  ( z  +h  w
)  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2221exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) ) ) )
2322com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( z  +h  w )  ->  (
( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
2423imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2524adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) )
2616, 3shscli 24742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
27 elspansn5 24999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  ->  (
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  /\  (
w  e.  ( span `  { C } )  /\  w  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  w  =  0h ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  /\  ( w  e.  ( span `  { C } )  /\  w  e.  ( A  +H  B
) ) )  ->  w  =  0h )
2928exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  (
w  e.  ( A  +H  B )  ->  w  =  0h )
) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  e.  ( A  +H  B
)  ->  w  =  0h ) ) )
3125, 30mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  =  0h ) )
32 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  0h  ->  (
z  +h  w )  =  ( z  +h 
0h ) )
33 ax-hvaddid 24428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
z  +h  0h )  =  z )
3432, 33sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  w  =  0h )  ->  ( z  +h  w
)  =  z )
359, 34sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  B  /\  w  =  0h )  ->  ( z  +h  w
)  =  z )
3635eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  B  /\  w  =  0h )  ->  ( y  =  ( z  +h  w )  <-> 
y  =  z ) )
3736adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  w  =  0h )  ->  ( y  =  ( z  +h  w )  <->  y  =  z ) )
3837biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
y  =  z )
39 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
4039biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  B  /\  y  =  z )  ->  y  e.  B )
41 elin 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ( B  i^i  A )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  A ) )
4241biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) )
4342ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) )
4440, 43sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  B  /\  y  =  z
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) )
4544expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  =  z  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
( y  =  z  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  A ) )
4847expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5131, 50mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) )
5352com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5453exp32 605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( z  +h  w )  ->  (
y  e.  A  -> 
( z  e.  B  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) ) )
5554com4l 84 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  B  -> 
( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  -> 
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) ) )
5655imp4c 591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) )
5756exp4a 606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( C  e.  ~H  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( ( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) )
5958com4l 84 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6059expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C }
) )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) ) )
6160rexlimdvv 2868 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C }
) y  =  ( z  +h  w )  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
626, 61sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6362com23 78 . . . . 5  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B )  -> 
( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6463imp4b 590 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
651, 64syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) )
6665ssrdv 3383 . 2  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  C_  ( B  i^i  A ) )
67 shsub1 24749 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( span `  { C } )  e.  SH )  ->  B  C_  ( B  +H  ( span `  { C } ) ) )
683, 4, 67sylancr 663 . . . 4  |-  ( C  e.  ~H  ->  B  C_  ( B  +H  ( span `  { C }
) ) )
69 ssrin 3596 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  -> 
( B  i^i  A
)  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7068, 69syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( B  i^i  A )  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7170adantr 465 . 2  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( B  i^i  A )  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7266, 71eqssd 3394 1  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  =  ( B  i^i  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {csn 3898   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ~Hchil 24343    +h cva 24344   0hc0v 24348    -h cmv 24349   SHcsh 24352   CHcch 24353    +H cph 24355   spancspn 24356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509  ax-hcompl 24626
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-lm 18855  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cfil 20788  df-cau 20789  df-cmet 20790  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-subgo 23811  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-dip 24118  df-ssp 24142  df-ph 24235  df-cbn 24286  df-hnorm 24392  df-hba 24393  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-hcau 24397  df-sh 24631  df-ch 24646  df-oc 24677  df-ch0 24678  df-shs 24733  df-span 24734
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