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Theorem sumdmdlem 27202
Description: Lemma for sumdmdi 27204. The span of vector  C not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  =  ( B  i^i  A ) )

Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3669 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  <->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C }
) )  /\  y  e.  A ) )
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
CH
32chshii 26010 . . . . . . . 8  |-  B  e.  SH
4 spansnsh 26344 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( span `  { C }
)  e.  SH )
5 shsel 26097 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( span `  { C } )  e.  SH )  ->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C }
) )  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C } ) y  =  ( z  +h  w
) ) )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C } ) y  =  ( z  +h  w
) ) )
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  A  e. 
CH
87cheli 26015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
92cheli 26015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  B  ->  z  e.  ~H )
10 elspansncl 26348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  ->  w  e.  ~H )
11 hvsubadd 25859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  ( z  +h  w )  =  y ) )
12 eqcom 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  +h  w )  =  y  <->  y  =  ( z  +h  w
) )
1311, 12syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
148, 9, 10, 13syl3an 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
15143expa 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w ) ) )
167chshii 26010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  A  e.  SH
1716, 3shsvsi 26150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ( A  +H  B ) )
18 eleq1 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  (
( y  -h  z
)  e.  ( A  +H  B )  <->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
1917, 18syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2115, 20sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( y  =  ( z  +h  w
)  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2221exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) ) ) )
2322com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( z  +h  w )  ->  (
( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
2423imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2524adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) )
2616, 3shscli 26100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
27 elspansn5 26357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  ->  (
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  /\  (
w  e.  ( span `  { C } )  /\  w  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  w  =  0h ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  /\  ( w  e.  ( span `  { C } )  /\  w  e.  ( A  +H  B
) ) )  ->  w  =  0h )
2928exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  (
w  e.  ( A  +H  B )  ->  w  =  0h )
) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  e.  ( A  +H  B
)  ->  w  =  0h ) ) )
3125, 30mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  =  0h ) )
32 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  0h  ->  (
z  +h  w )  =  ( z  +h 
0h ) )
33 ax-hvaddid 25786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
z  +h  0h )  =  z )
3432, 33sylan9eqr 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  w  =  0h )  ->  ( z  +h  w
)  =  z )
359, 34sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  B  /\  w  =  0h )  ->  ( z  +h  w
)  =  z )
3635eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  B  /\  w  =  0h )  ->  ( y  =  ( z  +h  w )  <-> 
y  =  z ) )
3736adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  w  =  0h )  ->  ( y  =  ( z  +h  w )  <->  y  =  z ) )
3837biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
y  =  z )
39 eleq1 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
4039biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  B  /\  y  =  z )  ->  y  e.  B )
41 elin 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ( B  i^i  A )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  A ) )
4241biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) )
4342ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) )
4440, 43sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  B  /\  y  =  z
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) )
4544expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  =  z  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
( y  =  z  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  A ) )
4847expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4948a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5131, 50mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) )
5352com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5453exp32 605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( z  +h  w )  ->  (
y  e.  A  -> 
( z  e.  B  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) ) )
5554com4l 84 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  B  -> 
( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  -> 
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) ) )
5655imp4c 591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) )
5756exp4a 606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( C  e.  ~H  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( ( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) )
5958com4l 84 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6059expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C }
) )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) ) )
6160rexlimdvv 2939 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C }
) y  =  ( z  +h  w )  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
626, 61sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6362com23 78 . . . . 5  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B )  -> 
( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6463imp4b 590 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
651, 64syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) )
6665ssrdv 3492 . 2  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  C_  ( B  i^i  A ) )
67 shsub1 26107 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( span `  { C } )  e.  SH )  ->  B  C_  ( B  +H  ( span `  { C } ) ) )
683, 4, 67sylancr 663 . . . 4  |-  ( C  e.  ~H  ->  B  C_  ( B  +H  ( span `  { C }
) ) )
69 ssrin 3705 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  -> 
( B  i^i  A
)  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7068, 69syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( B  i^i  A )  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7170adantr 465 . 2  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( B  i^i  A )  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7266, 71eqssd 3503 1  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  =  ( B  i^i  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   E.wrex 2792    i^i cin 3457    C_ wss 3458   {csn 4010   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   ~Hchil 25701    +h cva 25702   0hc0v 25706    -h cmv 25707   SHcsh 25710   CHcch 25711    +H cph 25713   spancspn 25714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cc 8813  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570  ax-hilex 25781  ax-hfvadd 25782  ax-hvcom 25783  ax-hvass 25784  ax-hv0cl 25785  ax-hvaddid 25786  ax-hfvmul 25787  ax-hvmulid 25788  ax-hvmulass 25789  ax-hvdistr1 25790  ax-hvdistr2 25791  ax-hvmul0 25792  ax-hfi 25861  ax-his1 25864  ax-his2 25865  ax-his3 25866  ax-his4 25867  ax-hcompl 25984
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-lm 19596  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cfil 21560  df-cau 21561  df-cmet 21562  df-grpo 25058  df-gid 25059  df-ginv 25060  df-gdiv 25061  df-ablo 25149  df-subgo 25169  df-vc 25304  df-nv 25350  df-va 25353  df-ba 25354  df-sm 25355  df-0v 25356  df-vs 25357  df-nmcv 25358  df-ims 25359  df-dip 25476  df-ssp 25500  df-ph 25593  df-cbn 25644  df-hnorm 25750  df-hba 25751  df-hvsub 25753  df-hlim 25754  df-hcau 25755  df-sh 25989  df-ch 26004  df-oc 26035  df-ch0 26036  df-shs 26091  df-span 26092
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  27203
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