Theorem sumdmdlem 11990

Description: Lemma for sumdmdi 11992. The span of vector C not in the subspace sum is "trimmed off."

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	|- A e. CH
sumdmdi.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem	|- ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> ((B +H (span` {C})) i^i A) = (B i^i A))

Proof of Theorem sumdmdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnsh 11117	. . . . . . . 8 |- (C e. ~H -> (span` {C}) e. SH)
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. CH
3	2	chshii 10730	. . . . . . . . 9 |- B e. SH
4		shsel 10911	. . . . . . . . 9 |- ((B e. SH /\ (span` {C}) e. SH) -> (y e. (B +H (span` {C})) <-> E.z e. B E.w e. (span` {C})y = (z +h w)))
5	3, 4	mpan 759	. . . . . . . 8 |- ((span` {C}) e. SH -> (y e. (B +H (span` {C})) <-> E.z e. B E.w e. (span` {C})y = (z +h w)))
6	1, 5	syl 12	. . . . . . 7 |- (C e. ~H -> (y e. (B +H (span` {C})) <-> E.z e. B E.w e. (span` {C})y = (z +h w)))
7		hvsubadd 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H /\ w e. ~H) -> ((y -h z) = w <-> (z +h w) = y))
8		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((z +h w) = y <-> y = (z +h w))
9	7, 8	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H /\ w e. ~H) -> ((y -h z) = w <-> y = (z +h w)))
10		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- A e. CH
11	10	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y e. A -> y e. ~H)
12	2	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (z e. B -> z e. ~H)
13		elspansncl 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((C e. ~H /\ w e. (span` {C})) -> w e. ~H)
14	9, 11, 12, 13	syl3an 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. A /\ z e. B /\ (C e. ~H /\ w e. (span` {C}))) -> ((y -h z) = w <-> y = (z +h w)))
15	14	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((y e. A /\ z e. B) /\ (C e. ~H /\ w e. (span` {C}))) -> ((y -h z) = w <-> y = (z +h w)))
16		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y -h z) = w -> ((y -h z) e. (A +H B) <-> w e. (A +H B)))
17	10	chshii 10730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- A e. SH
18	17, 3	shsvsi 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. A /\ z e. B) -> (y -h z) e. (A +H B))
19	16, 18	syl5cbi 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. A /\ z e. B) -> ((y -h z) = w -> w e. (A +H B)))
20	19	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((y e. A /\ z e. B) /\ (C e. ~H /\ w e. (span` {C}))) -> ((y -h z) = w -> w e. (A +H B)))
21	15, 20	sylbird 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((y e. A /\ z e. B) /\ (C e. ~H /\ w e. (span` {C}))) -> (y = (z +h w) -> w e. (A +H B)))
22	21	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. A /\ z e. B) -> (C e. ~H -> (w e. (span` {C}) -> (y = (z +h w) -> w e. (A +H B)))))
23	22	com4r 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y = (z +h w) -> ((y e. A /\ z e. B) -> (C e. ~H -> (w e. (span` {C}) -> w e. (A +H B)))))
24	23	imp31 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) /\ C e. ~H) -> (w e. (span` {C}) -> w e. (A +H B)))
25	24	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) /\ (C e. ~H /\ -. C e. (A +H B))) -> (w e. (span` {C}) -> w e. (A +H B)))
26	17, 3	shscli 10914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (A +H B) e. SH
27		elspansn5 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A +H B) e. SH -> (((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) /\ (w e. (span` {C}) /\ w e. (A +H B))) -> w = 0h))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) /\ (w e. (span` {C}) /\ w e. (A +H B))) -> w = 0h)
29	28	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> (w e. (span` {C}) -> (w e. (A +H B) -> w = 0h)))
30	29	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) /\ (C e. ~H /\ -. C e. (A +H B))) -> (w e. (span` {C}) -> (w e. (A +H B) -> w = 0h)))
31	25, 30	mpdd 57	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) /\ (C e. ~H /\ -. C e. (A +H B))) -> (w e. (span` {C}) -> w = 0h))
32		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (w = 0h -> (z +h w) = (z +h 0h))
33		ax-hvaddid 10506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (z e. ~H -> (z +h 0h) = z)
34	32, 33	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((z e. ~H /\ w = 0h) -> (z +h w) = z)
35	34, 12	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((z e. B /\ w = 0h) -> (z +h w) = z)
36	35	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((z e. B /\ w = 0h) -> (y = (z +h w) <-> y = z))
37	36	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((y e. A /\ z e. B) /\ w = 0h) -> (y = (z +h w) <-> y = z))
38	37	biimpac 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y = (z +h w) /\ ((y e. A /\ z e. B) /\ w = 0h)) -> y = z)
39		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (y e. (B i^i A) <-> (y e. B /\ y e. A))
40	39	biimpri 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. B /\ y e. A) -> y e. (B i^i A))
41	40	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. A /\ y e. B) -> y e. (B i^i A))
42		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y = z -> (y e. B <-> z e. B))
43	42	biimparc 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((z e. B /\ y = z) -> y e. B)
44	41, 43	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. A /\ (z e. B /\ y = z)) -> y e. (B i^i A))
45	44	expr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. A /\ z e. B) -> (y = z -> y e. (B i^i A)))
46	45	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y = (z +h w) /\ ((y e. A /\ z e. B) /\ w = 0h)) -> (y = z -> y e. (B i^i A)))
47	38, 46	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y = (z +h w) /\ ((y e. A /\ z e. B) /\ w = 0h)) -> y e. (B i^i A))
48	47	expr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (w = 0h -> y e. (B i^i A)))
49	48	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (w e. (span` {C}) -> (w = 0h -> y e. (B i^i A))))
50	49	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) /\ (C e. ~H /\ -. C e. (A +H B))) -> (w e. (span` {C}) -> (w = 0h -> y e. (B i^i A))))
51	31, 50	mpdd 57	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) /\ (C e. ~H /\ -. C e. (A +H B))) -> (w e. (span` {C}) -> y e. (B i^i A)))
52	51	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> (w e. (span` {C}) -> y e. (B i^i A))))
53	52	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y = (z +h w) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (w e. (span` {C}) -> ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> y e. (B i^i A))))
54	53	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (z +h w) -> (y e. A -> (z e. B -> (w e. (span` {C}) -> ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> y e. (B i^i A))))))
55	54	com4l 43	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. A -> (z e. B -> (w e. (span` {C}) -> (y = (z +h w) -> ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> y e. (B i^i A))))))
56	55	imp4c 393	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. A -> (((z e. B /\ w e. (span` {C})) /\ y = (z +h w)) -> ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> y e. (B i^i A))))
57	56	exp4a 409	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. A -> (((z e. B /\ w e. (span` {C})) /\ y = (z +h w)) -> (C e. ~H -> (-. C e. (A +H B) -> y e. (B i^i A)))))
58	57	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- (y e. A -> (C e. ~H -> (((z e. B /\ w e. (span` {C})) /\ y = (z +h w)) -> (-. C e. (A +H B) -> y e. (B i^i A)))))
59	58	com4l 43	. . . . . . . . 9 |- (C e. ~H -> (((z e. B /\ w e. (span` {C})) /\ y = (z +h w)) -> (-. C e. (A +H B) -> (y e. A -> y e. (B i^i A)))))
60	59	exp3a 405	. . . . . . . 8 |- (C e. ~H -> ((z e. B /\ w e. (span` {C})) -> (y = (z +h w) -> (-. C e. (A +H B) -> (y e. A -> y e. (B i^i A))))))
61	60	r19.23advv 2218	. . . . . . 7 |- (C e. ~H -> (E.z e. B E.w e. (span` {C})y = (z +h w) -> (-. C e. (A +H B) -> (y e. A -> y e. (B i^i A)))))
62	6, 61	sylbid 220	. . . . . 6 |- (C e. ~H -> (y e. (B +H (span` {C})) -> (-. C e. (A +H B) -> (y e. A -> y e. (B i^i A)))))
63	62	com23 36	. . . . 5 |- (C e. ~H -> (-. C e. (A +H B) -> (y e. (B +H (span` {C})) -> (y e. A -> y e. (B i^i A)))))
64	63	imp4b 392	. . . 4 |- ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> ((y e. (B +H (span` {C})) /\ y e. A) -> y e. (B i^i A)))
65		elin 2786	. . . 4 |- (y e. ((B +H (span` {C})) i^i A) <-> (y e. (B +H (span` {C})) /\ y e. A))
66	64, 65	syl5ib 223	. . 3 |- ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> (y e. ((B +H (span` {C})) i^i A) -> y e. (B i^i A)))
67	66	ssrdv 2622	. 2 |- ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> ((B +H (span` {C})) i^i A) C_ (B i^i A))
68		shsub1 10921	. . . . 5 |- ((B e. SH /\ (span` {C}) e. SH) -> B C_ (B +H (span` {C})))
69	3, 68	mpan 759	. . . 4 |- ((span` {C}) e. SH -> B C_ (B +H (span` {C})))
70		ssrin 2817	. . . 4 |- (B C_ (B +H (span` {C})) -> (B i^i A) C_ ((B +H (span` {C})) i^i A))
71	1, 69, 70	3syl 24	. . 3 |- (C e. ~H -> (B i^i A) C_ ((B +H (span` {C})) i^i A))
72	71	adantr 425	. 2 |- ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> (B i^i A) C_ ((B +H (span` {C})) i^i A))
73	67, 72	eqssd 2633	1 |- ((C e. ~H /\ -. C e. (A +H B)) -> ((B +H (span` {C})) i^i A) = (B i^i A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  {csn 3044  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423   -h cmv 10424  SHcsh 10429  CHcch 10430   +H cph 10432  spancspn 10433

This theorem is referenced by:  sumdmdlem2 11991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-span 10907

Copyright terms: Public domain