Theorem sumdmdii 11987

Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139.

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	|- A e. CH
sumdmdi.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
sumdmdii	|- ((A +H B) = (A vH B) -> A MH* B)

Proof of Theorem sumdmdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 2790	. . . . . . 7 |- ((A +H B) = (A vH B) -> (x i^i (A +H B)) = (x i^i (A vH B)))
2	1	adantr 425	. . . . . 6 |- (((A +H B) = (A vH B) /\ (x e. CH /\ B C_ x)) -> (x i^i (A +H B)) = (x i^i (A vH B)))
3		chsh 10729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (x e. CH -> x e. SH)
4		shsubclOLD 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (x e. SH -> ((y e. x /\ w e. x) -> (y -h w) e. x))
5	4	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (x e. SH -> (y e. x -> (w e. x -> (y -h w) e. x)))
6	3, 5	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x e. CH -> (y e. x -> (w e. x -> (y -h w) e. x)))
7		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((B C_ x /\ w e. B) -> w e. x)
8	6, 7	syl7 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. CH -> (y e. x -> ((B C_ x /\ w e. B) -> (y -h w) e. x)))
9	8	exp4a 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x e. CH -> (y e. x -> (B C_ x -> (w e. B -> (y -h w) e. x))))
10	9	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x e. CH -> (B C_ x -> (y e. x -> (w e. B -> (y -h w) e. x))))
11	10	imp41 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ w e. B) -> (y -h w) e. x)
12	11	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) /\ w e. B) -> (y -h w) e. x)
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) /\ w e. B) /\ y = (z +h w)) -> (y -h w) e. x)
14		hvsubadd 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y -h w) = z <-> (w +h z) = y))
15		ax-hvcom 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((w e. ~H /\ z e. ~H) -> (w +h z) = (z +h w))
16	15	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((w e. ~H /\ z e. ~H) -> ((w +h z) = y <-> (z +h w) = y))
17		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((z +h w) = y <-> y = (z +h w))
18	16, 17	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((w e. ~H /\ z e. ~H) -> ((w +h z) = y <-> y = (z +h w)))
19	18	3adant1 894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H /\ z e. ~H) -> ((w +h z) = y <-> y = (z +h w)))
20	14, 19	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y -h w) = z <-> y = (z +h w)))
21	20	3com23 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H /\ w e. ~H) -> ((y -h w) = z <-> y = (z +h w)))
22		chel 10733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((x e. CH /\ y e. x) -> y e. ~H)
23	22	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) -> y e. ~H)
24		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- A e. CH
25	24	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z e. A -> z e. ~H)
26		sumdmdi.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- B e. CH
27	26	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (w e. B -> w e. ~H)
28	21, 23, 25, 27	syl3an 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A /\ w e. B) -> ((y -h w) = z <-> y = (z +h w)))
29	28	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) /\ w e. B) -> ((y -h w) = z <-> y = (z +h w)))
30		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y -h w) = z -> ((y -h w) e. x <-> z e. x))
31	29, 30	syl6bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) /\ w e. B) -> (y = (z +h w) -> ((y -h w) e. x <-> z e. x)))
32	31	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) /\ w e. B) /\ y = (z +h w)) -> ((y -h w) e. x <-> z e. x))
33	13, 32	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) /\ w e. B) /\ y = (z +h w)) -> z e. x)
34		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) /\ w e. B) /\ y = (z +h w)) -> y = (z +h w))
35	33, 34	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) /\ w e. B) /\ y = (z +h w)) -> (z e. x /\ y = (z +h w)))
36	35	exp31 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) -> (w e. B -> (y = (z +h w) -> (z e. x /\ y = (z +h w)))))
37	36	reximdvai 2201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) -> (E.w e. B y = (z +h w) -> E.w e. B (z e. x /\ y = (z +h w))))
38		r19.42v 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.w e. B (z e. x /\ y = (z +h w)) <-> (z e. x /\ E.w e. B y = (z +h w)))
39	37, 38	syl6ib 229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) /\ z e. A) -> (E.w e. B y = (z +h w) -> (z e. x /\ E.w e. B y = (z +h w))))
40	39	reximdva 2203	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) -> (E.z e. A E.w e. B y = (z +h w) -> E.z e. A (z e. x /\ E.w e. B y = (z +h w))))
41		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. (x i^i A) <-> (z e. x /\ z e. A))
42		ancom 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. x /\ z e. A) <-> (z e. A /\ z e. x))
43	41, 42	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. (x i^i A) <-> (z e. A /\ z e. x))
44	43	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. (x i^i A) /\ E.w e. B y = (z +h w)) <-> ((z e. A /\ z e. x) /\ E.w e. B y = (z +h w)))
45		anass 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((z e. A /\ z e. x) /\ E.w e. B y = (z +h w)) <-> (z e. A /\ (z e. x /\ E.w e. B y = (z +h w))))
46	44, 45	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. (x i^i A) /\ E.w e. B y = (z +h w)) <-> (z e. A /\ (z e. x /\ E.w e. B y = (z +h w))))
47	46	rexbii2 2132	. . . . . . . . . . . . 13 |- (E.z e. (x i^i A)E.w e. B y = (z +h w) <-> E.z e. A (z e. x /\ E.w e. B y = (z +h w)))
48	40, 47	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) -> (E.z e. A E.w e. B y = (z +h w) -> E.z e. (x i^i A)E.w e. B y = (z +h w)))
49	24	chshii 10730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A e. SH
50		shincl 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. SH /\ A e. SH) -> (x i^i A) e. SH)
51	49, 50	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. SH -> (x i^i A) e. SH)
52	3, 51	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. CH -> (x i^i A) e. SH)
53	52	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) -> (x i^i A) e. SH)
54	26	chshii 10730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. SH
55		shsel 10911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x i^i A) e. SH /\ B e. SH) -> (y e. ((x i^i A) +H B) <-> E.z e. (x i^i A)E.w e. B y = (z +h w)))
56	54, 55	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x i^i A) e. SH -> (y e. ((x i^i A) +H B) <-> E.z e. (x i^i A)E.w e. B y = (z +h w)))
57	53, 56	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) -> (y e. ((x i^i A) +H B) <-> E.z e. (x i^i A)E.w e. B y = (z +h w)))
58	48, 57	sylibrd 221	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) -> (E.z e. A E.w e. B y = (z +h w) -> y e. ((x i^i A) +H B)))
59	24, 26	chseli 11015	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. (A +H B) <-> E.z e. A E.w e. B y = (z +h w))
60	58, 59	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. CH /\ B C_ x) /\ y e. x) -> (y e. (A +H B) -> y e. ((x i^i A) +H B)))
61	60	expimpd 404	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CH /\ B C_ x) -> ((y e. x /\ y e. (A +H B)) -> y e. ((x i^i A) +H B)))
62		elin 2786	. . . . . . . . 9 |- (y e. (x i^i (A +H B)) <-> (y e. x /\ y e. (A +H B)))
63	61, 62	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- ((x e. CH /\ B C_ x) -> (y e. (x i^i (A +H B)) -> y e. ((x i^i A) +H B)))
64	63	ssrdv 2622	. . . . . . 7 |- ((x e. CH /\ B C_ x) -> (x i^i (A +H B)) C_ ((x i^i A) +H B))
65	64	adantl 424	. . . . . 6 |- (((A +H B) = (A vH B) /\ (x e. CH /\ B C_ x)) -> (x i^i (A +H B)) C_ ((x i^i A) +H B))
66	2, 65	eqsstr3d 2652	. . . . 5 |- (((A +H B) = (A vH B) /\ (x e. CH /\ B C_ x)) -> (x i^i (A vH B)) C_ ((x i^i A) +H B))
67		chincl 11055	. . . . . . . 8 |- ((x e. CH /\ A e. CH) -> (x i^i A) e. CH)
68	24, 67	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (x e. CH -> (x i^i A) e. CH)
69		chslej 11054	. . . . . . . 8 |- (((x i^i A) e. CH /\ B e. CH) -> ((x i^i A) +H B) C_ ((x i^i A) vH B))
70	26, 69	mpan2 760	. . . . . . 7 |- ((x i^i A) e. CH -> ((x i^i A) +H B) C_ ((x i^i A) vH B))
71	68, 70	syl 12	. . . . . 6 |- (x e. CH -> ((x i^i A) +H B) C_ ((x i^i A) vH B))
72	71	ad2antrl 442	. . . . 5 |- (((A +H B) = (A vH B) /\ (x e. CH /\ B C_ x)) -> ((x i^i A) +H B) C_ ((x i^i A) vH B))
73	66, 72	sstrd 2627	. . . 4 |- (((A +H B) = (A vH B) /\ (x e. CH /\ B C_ x)) -> (x i^i (A vH B)) C_ ((x i^i A) vH B))
74	73	exp32 408	. . 3 |- ((A +H B) = (A vH B) -> (x e. CH -> (B C_ x -> (x i^i (A vH B)) C_ ((x i^i A) vH B))))
75	74	r19.21aiv 2175	. 2 |- ((A +H B) = (A vH B) -> A.x e. CH (B C_ x -> (x i^i (A vH B)) C_ ((x i^i A) vH B)))
76		dmdbr2 11875	. . 3 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B <-> A.x e. CH (B C_ x -> (x i^i (A vH B)) C_ ((x i^i A) vH B))))
77	24, 26, 76	mp2an 761	. 2 |- (A MH* B <-> A.x e. CH (B C_ x -> (x i^i (A vH B)) C_ ((x i^i A) vH B)))
78	75, 77	sylibr 217	1 |- ((A +H B) = (A vH B) -> A MH* B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421   -h cmv 10424  SHcsh 10429  CHcch 10430   +H cph 10432   vH chj 10434   MH* cdmd 10468

This theorem is referenced by:  cmmdi 11988  sumdmdi 11992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-dmd 11853

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