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Theorem sumdmdii 28005
Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdii  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  A  MH*  B )

Proof of Theorem sumdmdii
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq2 3596 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  (
x  i^i  ( A  +H  B ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
21adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( x  i^i  ( A  +H  B
) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3 elin 3587 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x  i^i  ( A  +H  B
) )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ( A  +H  B
) ) )
4 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
CH
5 sumdmdi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
CH
64, 5chseli 27049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A  +H  B )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) )
7 ssel2 3397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  C_  x  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  x )
8 chsh 26814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  SH )
9 shsubcl 26810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  SH  /\  y  e.  x  /\  w  e.  x )  ->  ( y  -h  w
)  e.  x )
1093exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  SH  ->  (
y  e.  x  -> 
( w  e.  x  ->  ( y  -h  w
)  e.  x ) ) )
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CH  ->  (
y  e.  x  -> 
( w  e.  x  ->  ( y  -h  w
)  e.  x ) ) )
127, 11syl7 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CH  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( B  C_  x  /\  w  e.  B
)  ->  ( y  -h  w )  e.  x
) ) )
1312exp4a 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  CH  ->  (
y  e.  x  -> 
( B  C_  x  ->  ( w  e.  B  ->  ( y  -h  w
)  e.  x ) ) ) )
1413com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( w  e.  B  ->  ( y  -h  w
)  e.  x ) ) ) )
1514imp41 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  -h  w )  e.  x )
1615adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  -h  w )  e.  x )
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( y  -h  w
)  e.  x )
18 chel 26820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  CH  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ~H )
1918adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  ~H )
204cheli 26822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
215cheli 26822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
22 hvsubadd 26667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  ( w  +h  z )  =  y ) )
23 ax-hvcom 26591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
2423eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( w  +h  z )  =  y  <-> 
( z  +h  w
)  =  y ) )
25 eqcom 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  +h  w )  =  y  <->  y  =  ( z  +h  w
) )
2624, 25syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( w  +h  z )  =  y  <-> 
y  =  ( z  +h  w ) ) )
27263adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( w  +h  z
)  =  y  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
2822, 27bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
29283com23 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
3019, 20, 21, 29syl3an 1306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
31303expa 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  B )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
32 eleq1 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  -h  w )  =  z  ->  (
( y  -h  w
)  e.  x  <->  z  e.  x ) )
3331, 32syl6bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  -> 
( ( y  -h  w )  e.  x  <->  z  e.  x ) ) )
3433imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( ( y  -h  w )  e.  x  <->  z  e.  x ) )
3517, 34mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
z  e.  x )
36 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
y  =  ( z  +h  w ) )
3735, 36jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( z  e.  x  /\  y  =  (
z  +h  w ) ) )
3837exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  ->  (
w  e.  B  -> 
( y  =  ( z  +h  w )  ->  ( z  e.  x  /\  y  =  ( z  +h  w
) ) ) ) )
3938reximdvai 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  x  /\  y  =  ( z  +h  w ) ) ) )
40 r19.42v 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  x  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  <->  ( z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) ) )
4139, 40syl6ib 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  (
z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) ) )
4241reximdva 2834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) ) ) )
43 elin 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( z  e.  x  /\  z  e.  A ) )
44 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  e.  A )  <->  ( z  e.  A  /\  z  e.  x )
)
4543, 44bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( z  e.  A  /\  z  e.  x ) )
4645anbi1i 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( x  i^i  A )  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  z  e.  x )  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) )
47 anass 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  z  e.  x
)  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) ) )
4846, 47bitri 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( x  i^i  A )  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) ) )
4948rexbii2 2859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( x  i^i  A ) E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  <->  E. z  e.  A  ( z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) ) )
5042, 49syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  E. z  e.  ( x  i^i  A
) E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) )
514chshii 26817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  e.  SH
52 shincl 26971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  SH  /\  A  e.  SH )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  SH )
538, 51, 52sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  i^i  A )  e.  SH )
5453ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( x  i^i  A )  e.  SH )
555chshii 26817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  SH
56 shsel 26904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( y  e.  ( ( x  i^i  A
)  +H  B )  <->  E. z  e.  (
x  i^i  A ) E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) )
5754, 55, 56sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( y  e.  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
)  <->  E. z  e.  ( x  i^i  A ) E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) )
5850, 57sylibrd 237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  y  e.  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
) ) )
596, 58syl5bi 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( y  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
) ) )
6059expimpd 606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  -> 
( ( y  e.  x  /\  y  e.  ( A  +H  B
) )  ->  y  e.  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
) ) )
613, 60syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  -> 
( y  e.  ( x  i^i  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( ( x  i^i  A
)  +H  B ) ) )
6261ssrdv 3408 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  -> 
( x  i^i  ( A  +H  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  +H  B ) )
6362adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( x  i^i  ( A  +H  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  +H  B ) )
642, 63eqsstr3d 3437 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  +H  B ) )
65 chincl 27089 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  CH )
664, 65mpan2 675 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  i^i  A )  e.  CH )
67 chslej 27088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
)  C_  ( (
x  i^i  A )  vH  B ) )
6866, 5, 67sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( x  i^i  A
)  +H  B ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) )
6968ad2antrl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( ( x  i^i  A )  +H  B )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
)
7064, 69sstrd 3412 . . . 4  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
)
7170exp32 608 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  (
x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) ) ) )
7271ralrimiv 2772 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
) )
73 dmdbr2 27893 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  (
x  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
744, 5, 73mp2an 676 . 2  |-  ( A 
MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  -> 
( x  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) ) )
7572, 74sylibr 215 1  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  A  MH*  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2709   E.wrex 2710    i^i cin 3373    C_ wss 3374   class class class wbr 4361  (class class class)co 6244   ~Hchil 26509    +h cva 26510    -h cmv 26515   SHcsh 26518   CHcch 26519    +H cph 26521    vH chj 26523    MH* cdmd 26557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cc 8811  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563  ax-addf 9564  ax-mulf 9565  ax-hilex 26589  ax-hfvadd 26590  ax-hvcom 26591  ax-hvass 26592  ax-hv0cl 26593  ax-hvaddid 26594  ax-hfvmul 26595  ax-hvmulid 26596  ax-hvmulass 26597  ax-hvdistr1 26598  ax-hvdistr2 26599  ax-hvmul0 26600  ax-hfi 26669  ax-his1 26672  ax-his2 26673  ax-his3 26674  ax-his4 26675  ax-hcompl 26792
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-se 4751  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-supp 6865  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7473  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7904  df-inf 7905  df-oi 7973  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-uz 11106  df-q 11211  df-rp 11249  df-xneg 11355  df-xadd 11356  df-xmul 11357  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11731  df-fzo 11862  df-fl 11973  df-seq 12159  df-exp 12218  df-hash 12461  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-clim 13490  df-rlim 13491  df-sum 13691  df-struct 15061  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-ress 15066  df-plusg 15141  df-mulr 15142  df-starv 15143  df-sca 15144  df-vsca 15145  df-ip 15146  df-tset 15147  df-ple 15148  df-ds 15150  df-unif 15151  df-hom 15152  df-cco 15153  df-rest 15259  df-topn 15260  df-0g 15278  df-gsum 15279  df-topgen 15280  df-pt 15281  df-prds 15284  df-xrs 15338  df-qtop 15344  df-imas 15345  df-xps 15348  df-mre 15430  df-mrc 15431  df-acs 15433  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-submnd 16521  df-mulg 16614  df-cntz 16909  df-cmn 17370  df-psmet 18900  df-xmet 18901  df-met 18902  df-bl 18903  df-mopn 18904  df-fbas 18905  df-fg 18906  df-cnfld 18909  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cld 19971  df-ntr 19972  df-cls 19973  df-nei 20051  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-lm 20182  df-haus 20268  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-fil 20798  df-fm 20890  df-flim 20891  df-flf 20892  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274  df-cfil 22162  df-cau 22163  df-cmet 22164  df-grpo 25856  df-gid 25857  df-ginv 25858  df-gdiv 25859  df-ablo 25947  df-subgo 25967  df-vc 26102  df-nv 26148  df-va 26151  df-ba 26152  df-sm 26153  df-0v 26154  df-vs 26155  df-nmcv 26156  df-ims 26157  df-dip 26274  df-ssp 26298  df-ph 26391  df-cbn 26442  df-hnorm 26558  df-hba 26559  df-hvsub 26561  df-hlim 26562  df-hcau 26563  df-sh 26797  df-ch 26811  df-oc 26842  df-ch0 26843  df-shs 26898  df-chj 26900  df-dmd 27871
This theorem is referenced by:  cmmdi  28006  sumdmdi  28010
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