Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Structured version   Unicode version

Theorem sum2dchr 24065
 Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of for fixed and all is if and otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g DChr
sum2dchr.d
sum2dchr.z ℤ/n
sum2dchr.b
sum2dchr.u Unit
sum2dchr.n
sum2dchr.a
sum2dchr.c
Assertion
Ref Expression
sum2dchr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3 DChr
2 sum2dchr.d . . 3
3 sum2dchr.z . . 3 ℤ/n
4 eqid 2429 . . 3
5 sum2dchr.b . . 3
6 sum2dchr.n . . 3
76nnnn0d 10925 . . . . 5
83zncrng 19046 . . . . 5
9 crngring 17726 . . . . 5
107, 8, 93syl 18 . . . 4
11 sum2dchr.a . . . 4
12 sum2dchr.c . . . 4
13 sum2dchr.u . . . . 5 Unit
14 eqid 2429 . . . . 5 /r /r
155, 13, 14dvrcl 17849 . . . 4 /r
1610, 11, 12, 15syl3anc 1264 . . 3 /r
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 24063 . 2 /r /r
18 eqid 2429 . . . . . . . 8
19 eqid 2429 . . . . . . . 8
205, 18, 13, 19, 14dvrval 17848 . . . . . . 7 /r
2111, 12, 20syl2anc 665 . . . . . 6 /r
2221adantr 466 . . . . 5 /r
2322fveq2d 5885 . . . 4 /r
241, 3, 2dchrmhm 24032 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
25 simpr 462 . . . . . 6
2624, 25sseldi 3468 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
2711adantr 466 . . . . 5
285, 13unitss 17823 . . . . . 6
2913, 19unitinvcl 17837 . . . . . . . 8
3010, 12, 29syl2anc 665 . . . . . . 7
3130adantr 466 . . . . . 6
3228, 31sseldi 3468 . . . . 5
33 eqid 2429 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
3433, 5mgpbas 17664 . . . . . 6 mulGrp
3533, 18mgpplusg 17662 . . . . . 6 mulGrp
36 eqid 2429 . . . . . . 7 mulGrpfld mulGrpfld
37 cnfldmul 18911 . . . . . . 7 fld
3836, 37mgpplusg 17662 . . . . . 6 mulGrpfld
3934, 35, 38mhmlin 16540 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
4026, 27, 32, 39syl3anc 1264 . . . 4
41 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrps mulGrps
42 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrpflds mulGrpflds
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 24047 . . . . . . 7 mulGrps mulGrpflds
4412adantr 466 . . . . . . 7
4513, 41unitgrpbas 17829 . . . . . . . 8 mulGrps
4613, 41, 19invrfval 17836 . . . . . . . 8 mulGrps
47 cnfldbas 18909 . . . . . . . . . 10 fld
48 cnfld0 18927 . . . . . . . . . 10 fld
49 cndrng 18932 . . . . . . . . . 10 fld
5047, 48, 49drngui 17916 . . . . . . . . 9 Unitfld
51 eqid 2429 . . . . . . . . 9 fld fld
5250, 42, 51invrfval 17836 . . . . . . . 8 fld mulGrpflds
5345, 46, 52ghminv 16841 . . . . . . 7 mulGrps mulGrpflds fld
5443, 44, 53syl2anc 665 . . . . . 6 fld
55 fvres 5895 . . . . . . 7
5631, 55syl 17 . . . . . 6
57 fvres 5895 . . . . . . . . 9
5844, 57syl 17 . . . . . . . 8
5958fveq2d 5885 . . . . . . 7 fld fld
601, 3, 2, 5, 25dchrf 24033 . . . . . . . . 9
6128, 44sseldi 3468 . . . . . . . . 9
6260, 61ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
631, 3, 2, 5, 13, 25, 61dchrn0 24041 . . . . . . . . 9
6444, 63mpbird 235 . . . . . . . 8
65 cnfldinv 18934 . . . . . . . 8 fld
6662, 64, 65syl2anc 665 . . . . . . 7 fld
67 recval 13364 . . . . . . . . 9
6862, 64, 67syl2anc 665 . . . . . . . 8
691, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 24051 . . . . . . . . . . 11
7069oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10
71 sq1 12366 . . . . . . . . . 10
7270, 71syl6eq 2486 . . . . . . . . 9
7372oveq2d 6321 . . . . . . . 8
7462cjcld 13238 . . . . . . . . 9
7574div1d 10374 . . . . . . . 8
7668, 73, 753eqtrd 2474 . . . . . . 7
7759, 66, 763eqtrd 2474 . . . . . 6 fld
7854, 56, 773eqtr3d 2478 . . . . 5
7978oveq2d 6321 . . . 4
8023, 40, 793eqtrd 2474 . . 3 /r
8180sumeq2dv 13747 . 2 /r
825, 13, 14, 4dvreq1 17856 . . . 4 /r
8310, 11, 12, 82syl3anc 1264 . . 3 /r
8483ifbid 3937 . 2 /r
8517, 81, 843eqtr3d 2478 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625   cdif 3439  cif 3915  csn 4002   cres 4856  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cc0 9538  c1 9539   cmul 9543   cdiv 10268  cn 10609  c2 10659  cn0 10869  cexp 12269  ccj 13138  cabs 13276  csu 13730  cphi 14681  cbs 15084   ↾s cress 15085  cmulr 15153   MndHom cmhm 16531   cghm 16831  mulGrpcmgp 17658  cur 17670  crg 17715  ccrg 17716  Unitcui 17802  cinvr 17834  /rcdvr 17845  ℂfldccnfld 18905  ℤ/nℤczn 19005  DChrcdchr 24023 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-rpss 6585  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653  df-s1 12654  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-phi 14683  df-pc 14750  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-qus 15366  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-nsg 16766  df-eqg 16767  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-ga 16895  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-od 17120  df-gex 17121  df-pgp 17122  df-lsm 17223  df-pj1 17224  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-cyg 17448  df-dprd 17562  df-dpj 17563  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-lidl 18332  df-rsp 18333  df-2idl 18391  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-zn 19009  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699  df-ply 23010  df-idp 23011  df-coe 23012  df-dgr 23013  df-quot 23112  df-log 23371  df-cxp 23372  df-dchr 24024 This theorem is referenced by:  rpvmasum2  24213
 Copyright terms: Public domain W3C validator