MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Structured version   Unicode version

Theorem sum2dchr 22556
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  x ( A ) for fixed  A and all  x is  0 if  A  =  1 and  phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sum2dchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
sum2dchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
sum2dchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
sum2dchr.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
sum2dchr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
sum2dchr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
sum2dchr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
sum2dchr  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D    x, G    x, N    ph, x    x, Z
Allowed substitution hints:    B( x)    U( x)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 sum2dchr.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
3 sum2dchr.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2441 . . 3  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
5 sum2dchr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 sum2dchr.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
83zncrng 17877 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
9 crngrng 16645 . . . . 5  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
11 sum2dchr.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 sum2dchr.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
13 sum2dchr.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  Z )
14 eqid 2441 . . . . 5  |-  (/r `  Z
)  =  (/r `  Z
)
155, 13, 14dvrcl 16768 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  e.  B )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  e.  B )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 22554 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
18 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
19 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  (
invr `  Z )
205, 18, 13, 19, 14dvrval 16767 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2111, 12, 20syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2221adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  =  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
2322fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( x `  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) ) )
241, 3, 2dchrmhm 22523 . . . . . 6  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
25 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
2624, 25sseldi 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
2711adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  B )
285, 13unitss 16742 . . . . . 6  |-  U  C_  B
2913, 19unitinvcl 16756 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  C  e.  U )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3010, 12, 29syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U )
3130adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3228, 31sseldi 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  B
)
33 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
3433, 5mgpbas 16587 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
3533, 18mgpplusg 16585 . . . . . 6  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
36 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
37 cnfldmul 17724 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3836, 37mgpplusg 16585 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3934, 35, 38mhmlin 15467 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A  e.  B  /\  ( ( invr `  Z ) `  C
)  e.  B )  ->  ( x `  ( A ( .r `  Z ) ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )  =  ( ( x `
 A )  x.  ( x `  (
( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
4026, 27, 32, 39syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
41 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
42 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 22538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
4412adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  U )
4513, 41unitgrpbas 16748 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
4613, 41, 19invrfval 16755 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  ( invg `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
47 cnfldbas 17722 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base ` fld )
48 cnfld0 17740 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
49 cndrng 17745 . . . . . . . . . 10  |-fld  e.  DivRing
5047, 48, 49drngui 16818 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
51 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
5250, 42, 51invrfval 16755 . . . . . . . 8  |-  ( invr ` fld )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5345, 46, 52ghminv 15747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  C  e.  U
)  ->  ( (
x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( (
invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
5443, 44, 53syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
55 fvres 5701 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U  ->  ( ( x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
5631, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( x `  ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )
57 fvres 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  U  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5844, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5958fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) ) )
601, 3, 2, 5, 25dchrf 22524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : B --> CC )
6128, 44sseldi 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  B )
6260, 61ffvelrnd 5841 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  e.  CC )
631, 3, 2, 5, 13, 25, 61dchrn0 22532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  C
)  =/=  0  <->  C  e.  U ) )
6444, 63mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  =/=  0 )
65 cnfldinv 17747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( x `  C ) )  =  ( 1  /  (
x `  C )
) )
6662, 64, 65syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) )  =  ( 1  / 
( x `  C
) ) )
67 recval 12806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( x `  C
) )  =  ( ( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) ) )
6862, 64, 67syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
( ( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 ) ) )
691, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 22542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( abs `  ( x `  C ) )  =  1 )
7069oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
71 sq1 11956 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7270, 71syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  1 )
7372oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
1 ) )
7462cjcld 12681 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
* `  ( x `  C ) )  e.  CC )
7574div1d 10095 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  1 )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7668, 73, 753eqtrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7759, 66, 763eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
7854, 56, 773eqtr3d 2481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
7978oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  A
)  x.  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) ) )
8023, 40, 793eqtrd 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( ( x `  A
)  x.  ( * `
 ( x `  C ) ) ) )
8180sumeq2dv 13176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  ( * `  ( x `  C
) ) ) )
825, 13, 14, 4dvreq1 16775 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  (
( A (/r `  Z
) C )  =  ( 1r `  Z
)  <->  A  =  C
) )
8310, 11, 12, 82syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z )  <->  A  =  C ) )
8483ifbid 3808 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r
`  Z ) ,  ( phi `  N
) ,  0 )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
8517, 81, 843eqtr3d 2481 1  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604    \ cdif 3322   ifcif 3788   {csn 3874    |` cres 4838   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ^cexp 11861   *ccj 12581   abscabs 12719   sum_csu 13159   phicphi 13835   Basecbs 14170   ↾s cress 14171   .rcmulr 14235   MndHom cmhm 15458    GrpHom cghm 15737  mulGrpcmgp 16581   1rcur 16593   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636  Unitcui 16721   invrcinvr 16753  /rcdvr 16764  ℂfldccnfld 17718  ℤ/nczn 17834  DChrcdchr 22514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-rpss 6359  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-phi 13837  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-ga 15801  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-od 16025  df-gex 16026  df-pgp 16027  df-lsm 16128  df-pj1 16129  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-cyg 16348  df-dprd 16467  df-dpj 16468  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-lidl 17233  df-rsp 17234  df-2idl 17292  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-zring 17784  df-zrh 17835  df-zn 17838  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-0p 21048  df-limc 21241  df-dv 21242  df-ply 21599  df-idp 21600  df-coe 21601  df-dgr 21602  df-quot 21700  df-log 21951  df-cxp 21952  df-dchr 22515
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  22704
  Copyright terms: Public domain W3C validator