MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Unicode version

Theorem sum0 13201
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 10899 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10679 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
4 0ss 3669 . . . . 5  |-  (/)  C_  NN
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  C_  NN )
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
76, 1syl6eleq 2533 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 c0ex 9383 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
98fvconst2 5936 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  0 )
11 noel 3644 . . . . . 6  |-  -.  k  e.  (/)
1211iffalsei 3803 . . . . 5  |-  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 )  =  0
1310, 12syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 ) )
1411pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( k  e.  (/)  ->  A  e.  CC )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  (/) )  ->  A  e.  CC )
161, 3, 5, 13, 15zsum 13198 . . 3  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) ) )
1716trud 1378 . 2  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `
 seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )
18 fclim 13034 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
19 ffun 5564 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
2018, 19ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  ~~>
21 serclim0 13058 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
222, 21ax-mp 5 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
23 funbrfv 5733 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )  ~~>  0  ->  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )  =  0 ) )
2420, 22, 23mp2 9 . 2  |-  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )  =  0
2517, 24eqtri 2463 1  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ifcif 3794   {csn 3880   class class class wbr 4295    X. cxp 4841   dom cdm 4843   Fun wfun 5415   -->wf 5417   ` cfv 5421   CCcc 9283   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288   NNcn 10325   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864    seqcseq 11809    ~~> cli 12965   sum_csu 13166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167
This theorem is referenced by:  sumz  13202  fsumf1o  13203  fsumcllem  13212  fsumadd  13218  fsum2d  13241  fsumrev2  13252  fsummulc2  13254  fsumconst  13260  fsumabs  13267  fsumtscopo  13268  fsumparts  13272  fsumrelem  13273  fsumrlim  13277  fsumo1  13278  fsumiun  13287  isumsplit  13306  arisum  13325  arisum2  13326  bitsinv1  13641  bitsinvp1  13648  prmreclem4  13983  prmreclem5  13984  gsumfsum  17882  fsumcn  20449  ovolfiniun  20987  volfiniun  21031  itg10  21169  itgfsum  21307  dvmptfsum  21450  abelthlem6  21904  logfac  22052  log2ublem3  22346  harmonicbnd3  22404  cht1  22506  dchrisumlem1  22741  dchrisumlem3  22743  logdivbnd  22808  pntrsumbnd2  22819  pntrlog2bndlem4  22832  esumpcvgval  26530  signsvf0  26984  signsvf1  26985  bpoly0  28196  mettrifi  28656  rrncmslem  28734  modfsummod  30248
  Copyright terms: Public domain W3C validator