MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Unicode version

Theorem sum0 13524
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 11126 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10901 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
4 0ss 3800 . . . . 5  |-  (/)  C_  NN
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  C_  NN )
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
76, 1syl6eleq 2541 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 c0ex 9593 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
98fvconst2 6111 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  0 )
11 noel 3774 . . . . . 6  |-  -.  k  e.  (/)
1211iffalsei 3936 . . . . 5  |-  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 )  =  0
1310, 12syl6eqr 2502 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 ) )
1411pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( k  e.  (/)  ->  A  e.  CC )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  (/) )  ->  A  e.  CC )
161, 3, 5, 13, 15zsum 13521 . . 3  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) ) )
1716trud 1392 . 2  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `
 seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )
18 fclim 13357 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
19 ffun 5723 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
2018, 19ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  ~~>
21 serclim0 13381 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
222, 21ax-mp 5 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
23 funbrfv 5896 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )  ~~>  0  ->  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )  =  0 ) )
2420, 22, 23mp2 9 . 2  |-  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )  =  0
2517, 24eqtri 2472 1  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1383   T. wtru 1384    e. wcel 1804    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    X. cxp 4987   dom cdm 4989   Fun wfun 5572   -->wf 5574   ` cfv 5578   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   NNcn 10543   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091    seqcseq 12088    ~~> cli 13288   sum_csu 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-sum 13490
This theorem is referenced by:  sumz  13525  fsumf1o  13526  fsumcllem  13535  fsumadd  13542  fsum2d  13567  fsumrev2  13578  fsummulc2  13580  fsumconst  13586  modfsummod  13589  fsumabs  13596  telfsumo  13597  fsumparts  13601  fsumrelem  13602  fsumrlim  13606  fsumo1  13607  fsumiun  13616  isumsplit  13633  arisum  13652  arisum2  13653  bitsinv1  14073  bitsinvp1  14080  prmreclem4  14418  prmreclem5  14419  gsumfsum  18462  fsumcn  21351  ovolfiniun  21889  volfiniun  21934  itg10  22072  itgfsum  22210  dvmptfsum  22353  abelthlem6  22807  logfac  22961  log2ublem3  23255  harmonicbnd3  23313  cht1  23415  dchrisumlem1  23650  dchrisumlem3  23652  logdivbnd  23717  pntrsumbnd2  23728  pntrlog2bndlem4  23741  esumpcvgval  28061  signsvf0  28514  signsvf1  28515  bpoly0  29787  mettrifi  30225  rrncmslem  30303
  Copyright terms: Public domain W3C validator