MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Unicode version

Theorem sum0 13492
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 11106 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10883 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
4 0ss 3807 . . . . 5  |-  (/)  C_  NN
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  C_  NN )
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
76, 1syl6eleq 2558 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 c0ex 9579 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
98fvconst2 6107 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  0 )
11 noel 3782 . . . . . 6  |-  -.  k  e.  (/)
1211iffalsei 3942 . . . . 5  |-  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 )  =  0
1310, 12syl6eqr 2519 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 ) )
1411pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( k  e.  (/)  ->  A  e.  CC )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  (/) )  ->  A  e.  CC )
161, 3, 5, 13, 15zsum 13489 . . 3  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) ) )
1716trud 1383 . 2  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `
 seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )
18 fclim 13325 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
19 ffun 5724 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
2018, 19ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  ~~>
21 serclim0 13349 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
222, 21ax-mp 5 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
23 funbrfv 5897 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )  ~~>  0  ->  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )  =  0 ) )
2420, 22, 23mp2 9 . 2  |-  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )  =  0
2517, 24eqtri 2489 1  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ifcif 3932   {csn 4020   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   dom cdm 4992   Fun wfun 5573   -->wf 5575   ` cfv 5579   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10525   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071    seqcseq 12063    ~~> cli 13256   sum_csu 13457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458
This theorem is referenced by:  sumz  13493  fsumf1o  13494  fsumcllem  13503  fsumadd  13510  fsum2d  13535  fsumrev2  13546  fsummulc2  13548  fsumconst  13554  modfsummod  13557  fsumabs  13564  telfsumo  13565  fsumparts  13569  fsumrelem  13570  fsumrlim  13574  fsumo1  13575  fsumiun  13584  isumsplit  13604  arisum  13623  arisum2  13624  bitsinv1  13940  bitsinvp1  13947  prmreclem4  14285  prmreclem5  14286  gsumfsum  18245  fsumcn  21102  ovolfiniun  21640  volfiniun  21685  itg10  21823  itgfsum  21961  dvmptfsum  22104  abelthlem6  22558  logfac  22706  log2ublem3  23000  harmonicbnd3  23058  cht1  23160  dchrisumlem1  23395  dchrisumlem3  23397  logdivbnd  23462  pntrsumbnd2  23473  pntrlog2bndlem4  23486  esumpcvgval  27710  signsvf0  28163  signsvf1  28164  bpoly0  29375  mettrifi  29840  rrncmslem  29918
  Copyright terms: Public domain W3C validator