MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Unicode version

Theorem sum0 13194
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 10892 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10672 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
4 0ss 3663 . . . . 5  |-  (/)  C_  NN
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  C_  NN )
6 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
76, 1syl6eleq 2531 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 c0ex 9376 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
98fvconst2 5930 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  0 )
11 noel 3638 . . . . . 6  |-  -.  k  e.  (/)
1211iffalsei 3797 . . . . 5  |-  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 )  =  0
1310, 12syl6eqr 2491 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 ) )
1411pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( k  e.  (/)  ->  A  e.  CC )
1514adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  (/) )  ->  A  e.  CC )
161, 3, 5, 13, 15zsum 13191 . . 3  |-  ( T. 
->  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) ) )
1716trud 1373 . 2  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `
 seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )
18 fclim 13027 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
19 ffun 5558 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
2018, 19ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  ~~>
21 serclim0 13051 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
222, 21ax-mp 5 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
23 funbrfv 5727 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )  ~~>  0  ->  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )  =  0 ) )
2420, 22, 23mp2 9 . 2  |-  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )  =  0
2517, 24eqtri 2461 1  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289    X. cxp 4834   dom cdm 4836   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   NNcn 10318   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857    seqcseq 11802    ~~> cli 12958   sum_csu 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  sumz  13195  fsumf1o  13196  fsumcllem  13205  fsumadd  13211  fsum2d  13234  fsumrev2  13245  fsummulc2  13247  fsumconst  13253  fsumabs  13260  fsumtscopo  13261  fsumparts  13265  fsumrelem  13266  fsumrlim  13270  fsumo1  13271  fsumiun  13280  isumsplit  13299  arisum  13318  arisum2  13319  bitsinv1  13634  bitsinvp1  13641  prmreclem4  13976  prmreclem5  13977  gsumfsum  17838  fsumcn  20405  ovolfiniun  20943  volfiniun  20987  itg10  21125  itgfsum  21263  dvmptfsum  21406  abelthlem6  21860  logfac  22008  log2ublem3  22302  harmonicbnd3  22360  cht1  22462  dchrisumlem1  22697  dchrisumlem3  22699  logdivbnd  22764  pntrsumbnd2  22775  pntrlog2bndlem4  22788  esumpcvgval  26463  signsvf0  26911  signsvf1  26912  bpoly0  28122  mettrifi  28578  rrncmslem  28656  modfsummod  30170
  Copyright terms: Public domain W3C validator