Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucxpdom Structured version   Unicode version

Theorem sucxpdom 7514
 Description: Cartesian product dominates successor for set with cardinality greater than 1. Proposition 10.38 of [TakeutiZaring] p. 93 (but generalized to arbitrary sets, not just ordinals). (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sucxpdom

Proof of Theorem sucxpdom
StepHypRef Expression
1 df-suc 4720 . 2
2 relsdom 7309 . . . . . . . . 9
32brrelex2i 4875 . . . . . . . 8
4 1on 6919 . . . . . . . 8
5 xpsneng 7388 . . . . . . . 8
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . . 7
76ensymd 7352 . . . . . 6
8 endom 7328 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
10 ensn1g 7366 . . . . . . . . 9
113, 10syl 16 . . . . . . . 8
12 ensdomtr 7439 . . . . . . . 8
1311, 12mpancom 669 . . . . . . 7
14 0ex 4417 . . . . . . . . 9
15 xpsneng 7388 . . . . . . . . 9
163, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . 8
1716ensymd 7352 . . . . . . 7
18 sdomentr 7437 . . . . . . 7
1913, 17, 18syl2anc 661 . . . . . 6
20 sdomdom 7329 . . . . . 6
2119, 20syl 16 . . . . 5
22 1n0 6927 . . . . . 6
23 xpsndisj 5256 . . . . . 6
2422, 23mp1i 12 . . . . 5
25 undom 7391 . . . . 5
269, 21, 24, 25syl21anc 1217 . . . 4
27 sdomentr 7437 . . . . . 6
287, 27mpdan 668 . . . . 5
29 sdomentr 7437 . . . . . 6
3017, 29mpdan 668 . . . . 5
31 unxpdom 7512 . . . . 5
3228, 30, 31syl2anc 661 . . . 4
33 domtr 7354 . . . 4
3426, 32, 33syl2anc 661 . . 3
35 xpen 7466 . . . 4
366, 16, 35syl2anc 661 . . 3
37 domentr 7360 . . 3
3834, 36, 37syl2anc 661 . 2
391, 38syl5eqbr 4320 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1369   wcel 1756   wne 2601  cvv 2967   cun 3321   cin 3322  c0 3632  csn 3872   class class class wbr 4287  con0 4714   csuc 4716   cxp 4833  c1o 6905   cen 7299   cdom 7300   csdm 7301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-1o 6912  df-2o 6913  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator