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Theorem suctrALT2VD 37273
Description: Virtual deduction proof of suctrALT2 37274. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suctrALT2VD  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)

Proof of Theorem suctrALT2VD
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr2 4515 . . 3  |-  ( Tr 
suc  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) )
2 sssucid 5523 . . . . . . . 8  |-  A  C_  suc  A
3 idn1 36988 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A 
->.  Tr  A ).
4 idn2 37036 . . . . . . . . . 10  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A ) ).
5 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  z  e.  y )
64, 5e2 37054 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  z  e.  y ).
7 idn3 37038 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  y  e.  A ).
8 trel 4520 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
98expd 442 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
103, 6, 7, 9e123 37190 . . . . . . . 8  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  z  e.  A ).
11 ssel 3438 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  suc  A  ->  ( z  e.  A  -> 
z  e.  suc  A
) )
122, 10, 11e03 37168 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  z  e.  suc  A ).
1312in3 37032 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  e.  A  ->  z  e. 
suc  A ) ).
14 idn3 37038 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  y  =  A ).
15 eleq2 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  A ) )
1615biimpcd 232 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  y  ->  (
y  =  A  -> 
z  e.  A ) )
176, 14, 16e23 37183 . . . . . . . 8  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  z  e.  A ).
182, 17, 11e03 37168 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  z  e.  suc  A ).
1918in3 37032 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  =  A  ->  z  e. 
suc  A ) ).
20 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  y  e.  suc  A )
214, 20e2 37054 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  y  e.  suc  A ).
22 elsuci 5512 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  suc  A  -> 
( y  e.  A  \/  y  =  A
) )
2321, 22e2 37054 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  e.  A  \/  y  =  A ) ).
24 jao 519 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  -> 
z  e.  suc  A
)  ->  ( (
y  =  A  -> 
z  e.  suc  A
)  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  =  A )  ->  z  e.  suc  A
) ) )
2513, 19, 23, 24e222 37059 . . . . 5  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  z  e.  suc  A ).
2625in2 37028 . . . 4  |-  (. Tr  A 
->.  ( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) ).
2726gen12 37041 . . 3  |-  (. Tr  A 
->.  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) ).
28 biimpr 203 . . 3  |-  ( ( Tr  suc  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) )  ->  ( A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  z  e.  suc  A )  ->  Tr  suc  A ) )
291, 27, 28e01 37114 . 2  |-  (. Tr  A 
->.  Tr  suc  A ).
3029in1 36985 1  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375   A.wal 1453    = wceq 1455    e. wcel 1898    C_ wss 3416   Tr wtr 4513   suc csuc 5448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-v 3059  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-sn 3981  df-uni 4213  df-tr 4514  df-suc 5452  df-vd1 36984  df-vd2 36992  df-vd3 37004
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