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Theorem suctrALT2VD 31406
Description: Virtual deduction proof of suctrALT2 31407. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suctrALT2VD  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)

Proof of Theorem suctrALT2VD
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr2 4384 . . 3  |-  ( Tr 
suc  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) )
2 sssucid 4792 . . . . . . . 8  |-  A  C_  suc  A
3 idn1 31120 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A 
->.  Tr  A ).
4 idn2 31169 . . . . . . . . . 10  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A ) ).
5 simpl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  z  e.  y )
64, 5e2 31187 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  z  e.  y ).
7 idn3 31171 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  y  e.  A ).
8 trel 4389 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
98exp3a 436 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
103, 6, 7, 9e123 31329 . . . . . . . 8  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  z  e.  A ).
11 ssel 3347 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  suc  A  ->  ( z  e.  A  -> 
z  e.  suc  A
) )
122, 10, 11e03 31307 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  z  e.  suc  A ).
1312in3 31165 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  e.  A  ->  z  e. 
suc  A ) ).
14 idn3 31171 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  y  =  A ).
15 eleq2 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  A ) )
1615biimpcd 224 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  y  ->  (
y  =  A  -> 
z  e.  A ) )
176, 14, 16e23 31322 . . . . . . . 8  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  z  e.  A ).
182, 17, 11e03 31307 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  z  e.  suc  A ).
1918in3 31165 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  =  A  ->  z  e. 
suc  A ) ).
20 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  y  e.  suc  A )
214, 20e2 31187 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  y  e.  suc  A ).
22 elsuci 4781 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  suc  A  -> 
( y  e.  A  \/  y  =  A
) )
2321, 22e2 31187 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  e.  A  \/  y  =  A ) ).
24 jao 509 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  -> 
z  e.  suc  A
)  ->  ( (
y  =  A  -> 
z  e.  suc  A
)  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  =  A )  ->  z  e.  suc  A
) ) )
2513, 19, 23, 24e222 31192 . . . . 5  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  z  e.  suc  A ).
2625in2 31161 . . . 4  |-  (. Tr  A 
->.  ( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) ).
2726gen12 31174 . . 3  |-  (. Tr  A 
->.  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) ).
28 bi2 198 . . 3  |-  ( ( Tr  suc  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) )  ->  ( A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  z  e.  suc  A )  ->  Tr  suc  A ) )
291, 27, 28e01 31247 . 2  |-  (. Tr  A 
->.  Tr  suc  A ).
3029in1 31117 1  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   Tr wtr 4382   suc csuc 4717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-v 2972  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-sn 3875  df-uni 4089  df-tr 4383  df-suc 4721  df-vd1 31116  df-vd2 31125  df-vd3 31137
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