Theorem suctrALT2VD 16660

Description: Virtual deduction proof of suctrALT2 16661.

Assertion

Ref	Expression
suctrALT2VD	|- (Tr A -> Tr suc A)

Proof of Theorem suctrALT2VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 3413	. . 3 |- (Tr suc A <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. suc A))
2		sssucid 3742	. . . . . . . 8 |- A C_ suc A
3		idn1 16484	. . . . . . . . 9 |- . Tr A   ⊢   Tr A .
4		idn2 16509	. . . . . . . . . 10 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A)   ⊢   (z e. y /\ y e. suc A) .
5		simpl 346	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. y)
6	4, 5	e2 16521	. . . . . . . . 9 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A)   ⊢   z e. y .
7		idn3 16510	. . . . . . . . 9 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A), y e. A   ⊢   y e. A .
8		trel 3418	. . . . . . . . . 10 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. A) -> z e. A))
9	8	exp3a 405	. . . . . . . . 9 |- (Tr A -> (z e. y -> (y e. A -> z e. A)))
10	3, 6, 7, 9	e123 16630	. . . . . . . 8 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A), y e. A   ⊢   z e. A .
11		ssel 2615	. . . . . . . 8 |- (A C_ suc A -> (z e. A -> z e. suc A))
12	2, 10, 11	e03 16608	. . . . . . 7 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A), y e. A   ⊢   z e. suc A .
13	12	in3 16508	. . . . . 6 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A)   ⊢   (y e. A -> z e. suc A) .
14		idn3 16510	. . . . . . . . 9 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A), y = A   ⊢   y = A .
15		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (y = A -> (z e. y <-> z e. A))
16	15	biimpcd 172	. . . . . . . . 9 |- (z e. y -> (y = A -> z e. A))
17	6, 14, 16	e23 16623	. . . . . . . 8 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A), y = A   ⊢   z e. A .
18	2, 17, 11	e03 16608	. . . . . . 7 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A), y = A   ⊢   z e. suc A .
19	18	in3 16508	. . . . . 6 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A)   ⊢   (y = A -> z e. suc A) .
20		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((z e. y /\ y e. suc A) -> y e. suc A)
21	4, 20	e2 16521	. . . . . . 7 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A)   ⊢   y e. suc A .
22		elsuci 3731	. . . . . . 7 |- (y e. suc A -> (y e. A \/ y = A))
23	21, 22	e2 16521	. . . . . 6 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A)   ⊢   (y e. A \/ y = A) .
24		jao 367	. . . . . 6 |- ((y e. A -> z e. suc A) -> ((y = A -> z e. suc A) -> ((y e. A \/ y = A) -> z e. suc A)))
25	13, 19, 23, 24	e222 16526	. . . . 5 |- . Tr A, (z e. y /\ y e. suc A)   ⊢   z e. suc A .
26	25	in2 16506	. . . 4 |- . Tr A   ⊢   ((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. suc A) .
27	26	gen12 16513	. . 3 |- . Tr A   ⊢   A.zA.y((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. suc A) .
28		bi2 166	. . 3 |- ((Tr suc A <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. suc A)) -> (A.zA.y((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. suc A) -> Tr suc A))
29	1, 27, 28	e01 16581	. 2 |- . Tr A   ⊢   Tr suc A .
30	29	in1 16481	1 |- (Tr A -> Tr suc A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Tr wtr 3411  suc csuc 3659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-sn 3049  df-uni 3178  df-tr 3412  df-suc 3663  df-vd1 16480  df-vd2 16489  df-vd3 16494

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