Theorem suctrALT2 16661

Description: Virtual deduction proof of suctr 3751. The sucessor of a transitive class is transitive. This proof was generated automatically from the virtual deduction proof suctrALT2VD 16660 using the tools command file translate_without_overwriting_minimize_excluding_duplicates.cmd .

Assertion

Ref	Expression
suctrALT2	|- (Tr A -> Tr suc A)

Proof of Theorem suctrALT2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 3742	. . . . 5 |- A C_ suc A
2		trel 3418	. . . . . . 7 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. A) -> z e. A))
3	2	exp3a 405	. . . . . 6 |- (Tr A -> (z e. y -> (y e. A -> z e. A)))
4	3	adantrd 427	. . . . 5 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. suc A) -> (y e. A -> z e. A)))
5		ssel 2615	. . . . 5 |- (A C_ suc A -> (z e. A -> z e. suc A))
6	1, 4, 5	ee03 16609	. . . 4 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. suc A) -> (y e. A -> z e. suc A)))
7		simpl 346	. . . . . . 7 |- ((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. y)
8	7	a1i 8	. . . . . 6 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. y))
9		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- (y = A -> (z e. y <-> z e. A))
10	9	biimpcd 172	. . . . . 6 |- (z e. y -> (y = A -> z e. A))
11	8, 10	syl6 25	. . . . 5 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. suc A) -> (y = A -> z e. A)))
12	1, 11, 5	ee03 16609	. . . 4 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. suc A) -> (y = A -> z e. suc A)))
13		simpr 350	. . . . . 6 |- ((z e. y /\ y e. suc A) -> y e. suc A)
14	13	a1i 8	. . . . 5 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. suc A) -> y e. suc A))
15		elsuci 3731	. . . . 5 |- (y e. suc A -> (y e. A \/ y = A))
16	14, 15	syl6 25	. . . 4 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. suc A) -> (y e. A \/ y = A)))
17		jao 367	. . . 4 |- ((y e. A -> z e. suc A) -> ((y = A -> z e. suc A) -> ((y e. A \/ y = A) -> z e. suc A)))
18	6, 12, 16, 17	ee222 1271	. . 3 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. suc A))
19	18	19.21aivv 1665	. 2 |- (Tr A -> A.zA.y((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. suc A))
20		dftr2 3413	. 2 |- (Tr suc A <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. suc A) -> z e. suc A))
21	19, 20	sylibr 217	1 |- (Tr A -> Tr suc A)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Tr wtr 3411  suc csuc 3659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-sn 3049  df-uni 3178  df-tr 3412  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain