Theorem sucexb 3890

Description: A successor exists iff its class argument exists.

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- (A e. _V <-> suc A e. _V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 3797	. 2 |- ((A e. _V /\ {A} e. _V) <-> (A u. {A}) e. _V)
2		snex 3492	. . 3 |- {A} e. _V
3	2	biantru 793	. 2 |- (A e. _V <-> (A e. _V /\ {A} e. _V))
4		df-suc 3663	. . 3 |- suc A = (A u. {A})
5	4	eleq1i 1960	. 2 |- (suc A e. _V <-> (A u. {A}) e. _V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 200	1 |- (A e. _V <-> suc A e. _V)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591  {csn 3044  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  sucexg 3891  sucelon 3898  ordsucelsuc 3902  ordsucelsucOLD 3903  oeordi 5262  suc11reg 5710  r1ord 5766  rankxpsuc 5826  tarsuc3 15246

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-uni 3178  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain