MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucexb Structured version   Unicode version

Theorem sucexb 6648
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 6603 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V ) 
<->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
2 snex 4660 . . 3  |-  { A }  e.  _V
32biantru 508 . 2  |-  ( A  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )
)
4 df-suc 5446 . . 3  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
54eleq1i 2500 . 2  |-  ( suc 
A  e.  _V  <->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
61, 3, 53bitr4i 281 1  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1869   _Vcvv 3082    u. cun 3435   {csn 3997   suc csuc 5442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-rex 2782  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-sn 3998  df-pr 4000  df-uni 4218  df-suc 5446
This theorem is referenced by:  sucexg  6649  sucelon  6656  ordsucelsuc  6661  oeordi  7294  suc11reg  8128  rankxpsuc  8356  isf32lem2  8786  limsucncmpi  31104
  Copyright terms: Public domain W3C validator