MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucexb Structured version   Unicode version

Theorem sucexb 6543
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 6499 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V ) 
<->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
2 snex 4603 . . 3  |-  { A }  e.  _V
32biantru 503 . 2  |-  ( A  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )
)
4 df-suc 4798 . . 3  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
54eleq1i 2459 . 2  |-  ( suc 
A  e.  _V  <->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
61, 3, 53bitr4i 277 1  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    u. cun 3387   {csn 3944   suc csuc 4794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-rex 2738  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-sn 3945  df-pr 3947  df-uni 4164  df-suc 4798
This theorem is referenced by:  sucexg  6544  sucelon  6551  ordsucelsuc  6556  oeordi  7154  suc11reg  7950  rankxpsuc  8213  isf32lem2  8647  limsucncmpi  30063
  Copyright terms: Public domain W3C validator