MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucexb Structured version   Unicode version

Theorem sucexb 6629
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 6585 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V ) 
<->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
2 snex 4678 . . 3  |-  { A }  e.  _V
32biantru 505 . 2  |-  ( A  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )
)
4 df-suc 4874 . . 3  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
54eleq1i 2520 . 2  |-  ( suc 
A  e.  _V  <->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
61, 3, 53bitr4i 277 1  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    u. cun 3459   {csn 4014   suc csuc 4870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-rex 2799  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-sn 4015  df-pr 4017  df-uni 4235  df-suc 4874
This theorem is referenced by:  sucexg  6630  sucelon  6637  ordsucelsuc  6642  oeordi  7238  suc11reg  8039  rankxpsuc  8303  isf32lem2  8737  limsucncmpi  29886
  Copyright terms: Public domain W3C validator