MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucexb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sucexb 6641
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 6596 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V ) 
<->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
2 snex 4644 . . 3  |-  { A }  e.  _V
32biantru 508 . 2  |-  ( A  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )
)
4 df-suc 5432 . . 3  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
54eleq1i 2522 . 2  |-  ( suc 
A  e.  _V  <->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
61, 3, 53bitr4i 281 1  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    u. cun 3404   {csn 3970   suc csuc 5428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-rex 2745  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-sn 3971  df-pr 3973  df-uni 4202  df-suc 5432
This theorem is referenced by:  sucexg  6642  sucelon  6649  ordsucelsuc  6654  oeordi  7293  suc11reg  8129  rankxpsuc  8358  isf32lem2  8789  limsucncmpi  31117
  Copyright terms: Public domain W3C validator