MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucexb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sucexb 6655
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 6610 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V ) 
<->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
2 snex 4641 . . 3  |-  { A }  e.  _V
32biantru 513 . 2  |-  ( A  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )
)
4 df-suc 5436 . . 3  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
54eleq1i 2540 . 2  |-  ( suc 
A  e.  _V  <->  ( A  u.  { A } )  e.  _V )
61, 3, 53bitr4i 285 1  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    u. cun 3388   {csn 3959   suc csuc 5432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-rex 2762  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-sn 3960  df-pr 3962  df-uni 4191  df-suc 5436
This theorem is referenced by:  sucexg  6656  sucelon  6663  ordsucelsuc  6668  oeordi  7306  suc11reg  8142  rankxpsuc  8371  isf32lem2  8802  limsucncmpi  31176
  Copyright terms: Public domain W3C validator