MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucelon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sucelon 6676
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
sucelon  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )

Proof of Theorem sucelon
StepHypRef Expression
1 ordsuc 6673 . . 3  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
2 sucexb 6668 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
31, 2anbi12i 708 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  e.  _V )  <->  ( Ord  suc 
A  /\  suc  A  e. 
_V ) )
4 elon2 5457 . 2  |-  ( A  e.  On  <->  ( Ord  A  /\  A  e.  _V ) )
5 elon2 5457 . 2  |-  ( suc 
A  e.  On  <->  ( Ord  suc 
A  /\  suc  A  e. 
_V ) )
63, 4, 53bitr4i 285 1  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375    e. wcel 1898   _Vcvv 3057   Ord word 5445   Oncon0 5446   suc csuc 5448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-ord 5449  df-on 5450  df-suc 5452
This theorem is referenced by:  onsucmin  6680  tfindsg2  6720  oaordi  7278  oalimcl  7292  omlimcl  7310  omeulem1  7314  oeordsuc  7326  infensuc  7781  cantnflem1b  8222  cantnflem1  8225  r1ordg  8280  alephnbtwn  8533  cfsuc  8718  alephsuc3  9036  alephreg  9038  nobndlem1  30631  nobndlem8  30638  nofulllem4  30644  nofulllem5  30645
  Copyright terms: Public domain W3C validator