Theorem sucdom 5994

Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. The proof uses AC and Infinity. It is unclear if a proof without using these is possible, unlike the weaker versions omsucdom 5616, sucdomi 5617, and finsucdom 5620.

Assertion

Ref	Expression
sucdom	|- ((A e. om /\ B e. C) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Proof of Theorem sucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 5733	. . . 4 |- om e. _V
2		entri2 5991	. . . 4 |- ((om e. _V /\ B e. C) -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
3	1, 2	mpan 759	. . 3 |- (B e. C -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
4	3	adantl 424	. 2 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
5		sdomdomtr 5532	. . . . . . . 8 |- (B e. C -> ((A ~< om /\ om ~<_ B) -> A ~< B))
6	5	expdimp 406	. . . . . . 7 |- ((B e. C /\ A ~< om) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
7		nnsdom 5742	. . . . . . 7 |- (A e. om -> A ~< om)
8	6, 7	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((B e. C /\ A e. om) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
9	8	ancoms 484	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
10		peano2b 3968	. . . . . . . 8 |- (A e. om <-> suc A e. om)
11		nnsdom 5742	. . . . . . . 8 |- (suc A e. om -> suc A ~< om)
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (A e. om -> suc A ~< om)
13		sdomdom 5445	. . . . . . 7 |- (suc A ~< om -> suc A ~<_ om)
14		domtr 5474	. . . . . . . 8 |- ((suc A ~<_ om /\ om ~<_ B) -> suc A ~<_ B)
15	14	ex 402	. . . . . . 7 |- (suc A ~<_ om -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
16	12, 13, 15	3syl 24	. . . . . 6 |- (A e. om -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
17	16	adantr 425	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
18	9, 17	jcad 661	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> (A ~< B /\ suc A ~<_ B)))
19		pm5.1 740	. . . 4 |- ((A ~< B /\ suc A ~<_ B) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
20	18, 19	syl6 25	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
21		finsucdom 5620	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. Fin) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
22	21	ex 402	. . . . 5 |- (A e. om -> (B e. Fin -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
23		isfinite2 5639	. . . . 5 |- (B ~< om -> B e. Fin)
24	22, 23	syl5 20	. . . 4 |- (A e. om -> (B ~< om -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
25	24	adantr 425	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (B ~< om -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
26	20, 25	jaod 469	. 2 |- ((A e. om /\ B e. C) -> ((om ~<_ B \/ B ~< om) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
27	4, 26	mpd 29	1 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  suc csuc 3659  omcom 3949   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  unxpdomlem 5995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-card 5862

Copyright terms: Public domain