Theorem suc11 3773

Description: The successor operation behaves like a one-to-one function. Compare Exercise 16 of [Enderton] p. 194.

Assertion

Ref	Expression
suc11	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc A = suc B <-> A = B))

Proof of Theorem suc11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 3667	. . . . 5 |- (A e. On -> Ord A)
2		ordn2lp 3678	. . . . . 6 |- (Ord A -> -. (A e. B /\ B e. A))
3		ianor 329	. . . . . 6 |- (-. (A e. B /\ B e. A) <-> (-. A e. B \/ -. B e. A))
4	2, 3	sylib 215	. . . . 5 |- (Ord A -> (-. A e. B \/ -. B e. A))
5	1, 4	syl 12	. . . 4 |- (A e. On -> (-. A e. B \/ -. B e. A))
6	5	adantr 425	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. A e. B \/ -. B e. A))
7		sucssel 3763	. . . . . 6 |- (A e. On -> (suc A C_ suc B -> A e. suc B))
8		eqimss 2665	. . . . . 6 |- (suc A = suc B -> suc A C_ suc B)
9	7, 8	syl5 20	. . . . 5 |- (A e. On -> (suc A = suc B -> A e. suc B))
10		elsuci 3731	. . . . . . 7 |- (A e. suc B -> (A e. B \/ A = B))
11	10	ord 249	. . . . . 6 |- (A e. suc B -> (-. A e. B -> A = B))
12	11	com12 14	. . . . 5 |- (-. A e. B -> (A e. suc B -> A = B))
13	9, 12	syl9 71	. . . 4 |- (A e. On -> (-. A e. B -> (suc A = suc B -> A = B)))
14		sucssel 3763	. . . . . 6 |- (B e. On -> (suc B C_ suc A -> B e. suc A))
15		eqimss2 2667	. . . . . 6 |- (suc A = suc B -> suc B C_ suc A)
16	14, 15	syl5 20	. . . . 5 |- (B e. On -> (suc A = suc B -> B e. suc A))
17		elsuci 3731	. . . . . . . 8 |- (B e. suc A -> (B e. A \/ B = A))
18	17	ord 249	. . . . . . 7 |- (B e. suc A -> (-. B e. A -> B = A))
19	18	com12 14	. . . . . 6 |- (-. B e. A -> (B e. suc A -> B = A))
20		eqcom 1886	. . . . . 6 |- (B = A <-> A = B)
21	19, 20	syl6ib 229	. . . . 5 |- (-. B e. A -> (B e. suc A -> A = B))
22	16, 21	syl9 71	. . . 4 |- (B e. On -> (-. B e. A -> (suc A = suc B -> A = B)))
23	13, 22	jaao 472	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((-. A e. B \/ -. B e. A) -> (suc A = suc B -> A = B)))
24	6, 23	mpd 29	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc A = suc B -> A = B))
25		suceq 3729	. 2 |- (A = B -> suc A = suc B)
26	24, 25	impbid1 575	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc A = suc B <-> A = B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  peano4 3974  limenpsi 5599  dif1enOLD 10173  findcardOLD 10179  sltval2 13997  axsltsolem1 14006

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain