Theorem subtopmetlem 10255

Description: Lemma for subtopmet 10256. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Aug-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
subtopmet.1	|- D = (C |` (Y X. Y))
subtopmet.2	|- X = dom dom C
subtopmet.j	|- J = (Open` C)
subtopmet.k	|- K = (Open` D)
subtopmet.a	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
subtopmetlem	|- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (A e. (subSp` <.Y, J>.) -> A e. K))

Proof of Theorem subtopmetlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 2813	. . . . . . . 8 |- (y i^i Y) C_ Y
2		sseq1 2637	. . . . . . . 8 |- (A = (y i^i Y) -> (A C_ Y <-> (y i^i Y) C_ Y))
3	1, 2	mpbiri 211	. . . . . . 7 |- (A = (y i^i Y) -> A C_ Y)
4	3	3ad2ant3 899	. . . . . 6 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> A C_ Y)
5		subtopmet.1	. . . . . . . 8 |- D = (C |` (Y X. Y))
6		subtopmet.2	. . . . . . . 8 |- X = dom dom C
7	5, 6	basmetres 10185	. . . . . . 7 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> Y = dom dom D)
8	7	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> Y = dom dom D)
9	4, 8	sseqtrd 2653	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> A C_ dom dom D)
10		simpl1l 927	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A) -> C e. Met)
11		simp2 877	. . . . . . . . 9 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> y e. J)
12	11	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A) -> y e. J)
13		ssel2 2616	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ y /\ x e. A) -> x e. y)
14		inss1 2812	. . . . . . . . . . 11 |- (y i^i Y) C_ y
15		sseq1 2637	. . . . . . . . . . 11 |- (A = (y i^i Y) -> (A C_ y <-> (y i^i Y) C_ y))
16	14, 15	mpbiri 211	. . . . . . . . . 10 |- (A = (y i^i Y) -> A C_ y)
17	16	3ad2ant3 899	. . . . . . . . 9 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> A C_ y)
18	13, 17	sylan 497	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A) -> x e. y)
19		subtopmet.j	. . . . . . . . 9 |- J = (Open` C)
20	19	opni2 9142	. . . . . . . 8 |- ((C e. Met /\ y e. J /\ x e. y) -> E.r e. RR (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y))
21	10, 12, 18, 20	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A) -> E.r e. RR (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y))
22		metres 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (C e. Met -> (C |` (Y X. Y)) e. Met)
23	22, 5	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (C e. Met -> D e. Met)
24	23	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> D e. Met)
25	24	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> D e. Met)
26	25	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> D e. Met)
27	26	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> D e. Met)
28		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A C_ Y /\ x e. A) -> x e. Y)
29	28	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A C_ Y /\ x e. A /\ r e. RR) -> x e. Y)
30	29, 4	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> x e. Y)
31	30	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> x e. Y)
32	8	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> Y = dom dom D)
33	32	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> Y = dom dom D)
34	31, 33	eleqtrd 1973	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> x e. dom dom D)
35		simp3 878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> r e. RR)
36	35	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> r e. RR)
37		simprl 450	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> 0 < r)
38		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom dom D = dom dom D
39	38	blelrn 9125	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ x e. dom dom D) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (x( ball ` D)r) e. ran ( ball ` D))
40	27, 34, 36, 37, 39	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . 11 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> (x( ball ` D)r) e. ran ( ball ` D))
41	38	blcntr 9122	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ x e. dom dom D) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> x e. (x( ball ` D)r))
42	27, 34, 36, 37, 41	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . 11 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> x e. (x( ball ` D)r))
43		simplrr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> (x( ball ` C)r) C_ y)
44	6	metf 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (C e. Met -> C:(X X. X)-->RR)
45		ffun 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (C:(X X. X)-->RR -> Fun C)
46	44, 45	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (C e. Met -> Fun C)
47	46	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> Fun C)
48	47	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> Fun C)
49	48	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> Fun C)
50	49	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> Fun C)
51		df-fn 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (D Fn (Y X. Y) <-> (Fun D /\ dom D = (Y X. Y)))
52		resss 4237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (C |` (Y X. Y)) C_ C
53	5, 52	eqsstri 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- D C_ C
54		funss 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (D C_ C -> (Fun C -> Fun D))
55	53, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (Fun C -> Fun D)
56	50, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> Fun D)
57		simp11r 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> Y C_ X)
58	57	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> Y C_ X)
59		xpss12 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((Y C_ X /\ Y C_ X) -> (Y X. Y) C_ (X X. X))
60	58, 58, 59	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> (Y X. Y) C_ (X X. X))
61		fdm 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (C:(X X. X)-->RR -> dom C = (X X. X))
62	44, 61	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (C e. Met -> dom C = (X X. X))
63	62	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> dom C = (X X. X))
64	63	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> dom C = (X X. X))
65	64	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> dom C = (X X. X))
66	65	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> dom C = (X X. X))
67	60, 66	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> (Y X. Y) C_ dom C)
68		df-ss 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((Y X. Y) C_ dom C <-> ((Y X. Y) i^i dom C) = (Y X. Y))
69	67, 68	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> ((Y X. Y) i^i dom C) = (Y X. Y))
70	5	dmeqi 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- dom D = dom ( C |` (Y X. Y))
71		dmres 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- dom ( C |` (Y X. Y)) = ((Y X. Y) i^i dom C)
72	70, 71	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom D = ((Y X. Y) i^i dom C)
73	69, 72	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> dom D = (Y X. Y))
74	51, 56, 73	sylanbrc 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> D Fn (Y X. Y))
75	53	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> D C_ C)
76	30	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> x e. Y)
77		eqimss2 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (Y = dom dom D -> dom dom D C_ Y)
78	33, 77	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> dom dom D C_ Y)
79	78	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> (z e. dom dom D -> z e. Y))
80	79	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ z e. dom dom D) -> z e. Y)
81	80	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> z e. Y)
82		oprssoprv 4964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((Fun C /\ D Fn (Y X. Y) /\ D C_ C) /\ (x e. Y /\ z e. Y)) -> (xCz) = (xDz))
83	50, 74, 75, 76, 81, 82	syl32anc 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> (xCz) = (xDz))
84		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> (xDz) < r)
85	83, 84	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> (xCz) < r)
86		simp11l 987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> C e. Met)
87	86	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> C e. Met)
88	58, 76	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> x e. X)
89		dmss 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (D C_ C -> dom D C_ dom C)
90	53, 89	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- dom D C_ dom C
91		dmss 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (dom D C_ dom C -> dom dom D C_ dom dom C)
92	90, 91	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom dom D C_ dom dom C
93	92	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z e. dom dom D -> z e. dom dom C)
94	93, 6	syl6eleqr 1982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z e. dom dom D -> z e. X)
95	94	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> z e. X)
96		simpll3 917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> r e. RR)
97		simplrl 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> 0 < r)
98	6	elbl2 9116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((C e. Met /\ x e. X /\ z e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (z e. (x( ball ` C)r) <-> (xCz) < r))
99	87, 88, 95, 96, 97, 98	syl32anc 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> (z e. (x( ball ` C)r) <-> (xCz) < r))
100	85, 99	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> z e. (x( ball ` C)r))
101	43, 100	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) /\ (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)) -> z e. y)
102	101	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> ((z e. dom dom D /\ (xDz) < r) -> z e. y))
103		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((Y X. Y) i^i dom C) C_ (Y X. Y)
104		dmss 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((Y X. Y) i^i dom C) C_ (Y X. Y) -> dom ((Y X. Y) i^i dom C) C_ dom ( Y X. Y))
105	103, 104	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- dom ((Y X. Y) i^i dom C) C_ dom ( Y X. Y)
106	105	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> dom ((Y X. Y) i^i dom C) C_ dom ( Y X. Y))
107		dmxpid 4179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom ( Y X. Y) = Y
108	106, 107	syl6ss 2663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> dom ((Y X. Y) i^i dom C) C_ Y)
109	72	dmeqi 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom dom D = dom ((Y X. Y) i^i dom C)
110	108, 109	syl5ss 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> dom dom D C_ Y)
111	110	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> (z e. dom dom D -> z e. Y))
112	111	adantrd 427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> ((z e. dom dom D /\ (xDz) < r) -> z e. Y))
113	102, 112	jcad 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> ((z e. dom dom D /\ (xDz) < r) -> (z e. y /\ z e. Y)))
114		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. (y i^i Y) <-> (z e. y /\ z e. Y))
115	113, 114	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> ((z e. dom dom D /\ (xDz) < r) -> z e. (y i^i Y)))
116	38	elbl 9115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((D e. Met /\ x e. dom dom D) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (z e. (x( ball ` D)r) <-> (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)))
117	27, 34, 36, 37, 116	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> (z e. (x( ball ` D)r) <-> (z e. dom dom D /\ (xDz) < r)))
118		simpl13 953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> A = (y i^i Y))
119	118	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> (z e. A <-> z e. (y i^i Y)))
120	115, 117, 119	3imtr4d 602	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> (z e. (x( ball ` D)r) -> z e. A))
121	120	ssrdv 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> (x( ball ` D)r) C_ A)
122		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . 13 |- (o = (x( ball ` D)r) -> (x e. o <-> x e. (x( ball ` D)r)))
123		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- (o = (x( ball ` D)r) -> (o C_ A <-> (x( ball ` D)r) C_ A))
124	122, 123	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- (o = (x( ball ` D)r) -> ((x e. o /\ o C_ A) <-> (x e. (x( ball ` D)r) /\ (x( ball ` D)r) C_ A)))
125	124	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . 11 |- (((x( ball ` D)r) e. ran ( ball ` D) /\ (x e. (x( ball ` D)r) /\ (x( ball ` D)r) C_ A)) -> E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A))
126	40, 42, 121, 125	syl12anc 1098	. . . . . . . . . 10 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) /\ (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y)) -> E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A))
127	126	ex 402	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A /\ r e. RR) -> ((0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y) -> E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A)))
128	127	3expia 1069	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A) -> (r e. RR -> ((0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y) -> E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A))))
129	128	r19.23adv 2215	. . . . . . 7 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A) -> (E.r e. RR (0 < r /\ (x( ball ` C)r) C_ y) -> E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A)))
130	21, 129	mpd 29	. . . . . 6 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) /\ x e. A) -> E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A))
131	130	r19.21aiva 2176	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> A.x e. A E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A))
132	9, 131	jca 310	. . . 4 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. J /\ A = (y i^i Y)) -> (A C_ dom dom D /\ A.x e. A E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A)))
133	132	3exp 1066	. . 3 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (y e. J -> (A = (y i^i Y) -> (A C_ dom dom D /\ A.x e. A E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A)))))
134	133	r19.23adv 2215	. 2 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (E.y e. J A = (y i^i Y) -> (A C_ dom dom D /\ A.x e. A E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A))))
135	19	opntop 9147	. . . 4 |- (C e. Met -> J e. Top)
136	135	adantr 425	. . 3 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> J e. Top)
137		subtopmet.a	. . . 4 |- A e. _V
138	137	a1i 8	. . 3 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> A e. _V)
139		ssexg 3457	. . . . . 6 |- ((Y C_ dom dom C /\ dom dom C e. _V) -> Y e. _V)
140		dmexg 4206	. . . . . . 7 |- (C e. Met -> dom C e. _V)
141		dmexg 4206	. . . . . . 7 |- (dom C e. _V -> dom dom C e. _V)
142	140, 141	syl 12	. . . . . 6 |- (C e. Met -> dom dom C e. _V)
143	139, 142	sylan2 500	. . . . 5 |- ((Y C_ dom dom C /\ C e. Met) -> Y e. _V)
144	6	sseq2i 2642	. . . . 5 |- (Y C_ X <-> Y C_ dom dom C)
145	143, 144	sylanb 498	. . . 4 |- ((Y C_ X /\ C e. Met) -> Y e. _V)
146	145	ancoms 484	. . 3 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> Y e. _V)
147		issubspt 10247	. . 3 |- ((J e. Top /\ A e. _V /\ Y e. _V) -> (A e. (subSp` <.Y, J>.) <-> E.y e. J A = (y i^i Y)))
148	136, 138, 146, 147	syl111anc 1100	. 2 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (A e. (subSp` <.Y, J>.) <-> E.y e. J A = (y i^i Y)))
149	22	adantr 425	. . . 4 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (C |` (Y X. Y)) e. Met)
150	149, 5	syl5eqel 1975	. . 3 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> D e. Met)
151		subtopmet.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
152	38, 151	isopn 9136	. . 3 |- (D e. Met -> (A e. K <-> (A C_ dom dom D /\ A.x e. A E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A))))
153	150, 152	syl 12	. 2 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (A e. K <-> (A C_ dom dom D /\ A.x e. A E.o e. ran ( ball ` D)(x e. o /\ o C_ A))))
154	134, 148, 153	3imtr4d 602	1 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (A e. (subSp` <.Y, J>.) -> A e. K))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   < clt 6653  Topctop 8857  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  subtopmet 10256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-top 8861  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain