Theorem subtopmet 10256

Description: Two alternate formulations of a subspace topology of a metric space topology. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Aug-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
subtopmet.1	|- D = (C |` (Y X. Y))
subtopmet.2	|- X = dom dom C
subtopmet.j	|- J = (Open` C)
subtopmet.k	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
subtopmet	|- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (subSp` <.Y, J>.) = K)

Proof of Theorem subtopmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subtopmet.1	. . . 4 |- D = (C |` (Y X. Y))
2		subtopmet.2	. . . 4 |- X = dom dom C
3		subtopmet.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
4		subtopmet.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
5		visset 2295	. . . 4 |- t e. _V
6	1, 2, 3, 4, 5	subtopmetlem 10255	. . 3 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (t e. (subSp` <.Y, J>.) -> t e. K))
7	3	opntop 9147	. . . . . 6 |- (C e. Met -> J e. Top)
8	7	ad2antrr 440	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> J e. Top)
9		simpr 350	. . . . . . 7 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> Y C_ X)
10	2, 3	uniopn2 9138	. . . . . . . 8 |- (C e. Met -> U.J = X)
11	10	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> U.J = X)
12	9, 11	sseqtr4d 2654	. . . . . 6 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> Y C_ U.J)
13	12	adantr 425	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> Y C_ U.J)
14		simp1ll 939	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+) /\ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> C e. Met)
15		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Y C_ X /\ y e. Y) -> y e. X)
16		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> Y C_ X)
17	15, 16	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ y e. Y) -> y e. X)
18	17	adantrr 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> y e. X)
19	18	3adant3 896	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+) /\ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> y e. X)
20		rpre 7236	. . . . . . . . . . . . 13 |- (r e. RR+ -> r e. RR)
21	20	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. Y /\ r e. RR+) -> r e. RR)
22	21	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+) /\ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> r e. RR)
23		rpgt0 7240	. . . . . . . . . . . . 13 |- (r e. RR+ -> 0 < r)
24	23	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. Y /\ r e. RR+) -> 0 < r)
25	24	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+) /\ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> 0 < r)
26	2, 3	blopn 9153	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ y e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (y( ball ` C)r) e. J)
27	14, 19, 22, 25, 26	syl22anc 1101	. . . . . . . . . 10 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+) /\ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> (y( ball ` C)r) e. J)
28		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (y( ball ` C)r) -> (x e. J <-> (y( ball ` C)r) e. J))
29	28	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) -> (x e. J <-> (y( ball ` C)r) e. J))
30	29	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . 10 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+) /\ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> (x e. J <-> (y( ball ` C)r) e. J))
31	27, 30	mpbird 213	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+) /\ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> x e. J)
32	31	3exp 1066	. . . . . . . 8 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> ((y e. Y /\ r e. RR+) -> (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) -> x e. J)))
33	32	r19.23advv 2218	. . . . . . 7 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) -> x e. J))
34	33	abssdv 2681	. . . . . 6 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> {x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} C_ J)
35		uniopn 8867	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ {x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} C_ J) -> U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} e. J)
36	8, 34, 35	syl11anc 524	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} e. J)
37		metres 9100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (C e. Met -> (C |` (Y X. Y)) e. Met)
38	37, 1	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (C e. Met -> D e. Met)
39	38	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> D e. Met)
40		simprl 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> t e. K)
41		simprr 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> z e. t)
42	4	opni2 9142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((D e. Met /\ t e. K /\ z e. t) -> E.s e. RR (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))
43	39, 40, 41, 42	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> E.s e. RR (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))
44		simplll 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> C e. Met)
45		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> Y C_ X)
46		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- dom dom D = dom dom D
47	46, 4	opnss 9140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((D e. Met /\ t e. K) -> t C_ dom dom D)
48	47, 38	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((C e. Met /\ t e. K) -> t C_ dom dom D)
49	48	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> t C_ dom dom D)
50	1, 2	basmetres 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> Y = dom dom D)
51	50	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> Y = dom dom D)
52	49, 51	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> t C_ Y)
53	52, 41	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> z e. Y)
54	45, 53	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> z e. X)
55	54	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> z e. X)
56		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> s e. RR)
57		simprrl 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> 0 < s)
58	2	blcntr 9122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((C e. Met /\ z e. X) /\ (s e. RR /\ 0 < s)) -> z e. (z( ball ` C)s))
59	44, 55, 56, 57, 58	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> z e. (z( ball ` C)s))
60	53	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> z e. Y)
61		elrp 7233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (s e. RR+ <-> (s e. RR /\ 0 < s))
62	61	biimpri 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((s e. RR /\ 0 < s) -> s e. RR+)
63	62	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t)) -> s e. RR+)
64	63	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> s e. RR+)
65		simprrr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> (z( ball ` D)s) C_ t)
66		eqidd 1885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> (z( ball ` C)s) = (z( ball ` C)s))
67		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = z -> (y( ball ` D)r) = (z( ball ` D)r))
68	67	sseq1d 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = z -> ((y( ball ` D)r) C_ t <-> (z( ball ` D)r) C_ t))
69		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = z -> (y( ball ` C)r) = (z( ball ` C)r))
70	69	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = z -> ((z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r) <-> (z( ball ` C)s) = (z( ball ` C)r)))
71	68, 70	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = z -> (((y( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r)) <-> ((z( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (z( ball ` C)r))))
72		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (r = s -> (z( ball ` D)r) = (z( ball ` D)s))
73	72	sseq1d 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (r = s -> ((z( ball ` D)r) C_ t <-> (z( ball ` D)s) C_ t))
74		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (r = s -> (z( ball ` C)r) = (z( ball ` C)s))
75	74	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (r = s -> ((z( ball ` C)s) = (z( ball ` C)r) <-> (z( ball ` C)s) = (z( ball ` C)s)))
76	73, 75	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (r = s -> (((z( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (z( ball ` C)r)) <-> ((z( ball ` D)s) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (z( ball ` C)s))))
77	71, 76	rcla42ev 2385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. Y /\ s e. RR+ /\ ((z( ball ` D)s) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (z( ball ` C)s))) -> E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r)))
78	60, 64, 65, 66, 77	syl112anc 1104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r)))
79		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z( ball ` C)s) e. _V
80		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (z( ball ` C)s) -> (z e. x <-> z e. (z( ball ` C)s)))
81		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = (z( ball ` C)s) -> (x = (y( ball ` C)r) <-> (z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r)))
82	81	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = (z( ball ` C)s) -> (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) <-> ((y( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r))))
83	82	2rexbidv 2141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (z( ball ` C)s) -> (E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) <-> E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r))))
84	80, 83	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (z( ball ` C)s) -> ((z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) <-> (z e. (z( ball ` C)s) /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r)))))
85	79, 84	cla4ev 2371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. (z( ball ` C)s) /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ (z( ball ` C)s) = (y( ball ` C)r))) -> E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))))
86	59, 78, 85	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) /\ (s e. RR /\ (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t))) -> E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))))
87	86	exp32 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> (s e. RR -> ((0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t) -> E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))))))
88	87	r19.23adv 2215	. . . . . . . . . . . 12 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> (E.s e. RR (0 < s /\ (z( ball ` D)s) C_ t) -> E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)))))
89	43, 88	mpd 29	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ (t e. K /\ z e. t)) -> E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))))
90	89	expr 418	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. t -> E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)))))
91		eluniab 3189	. . . . . . . . . 10 |- (z e. U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} <-> E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))))
92	90, 91	syl6ibr 230	. . . . . . . . 9 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. t -> z e. U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))}))
93	38	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> D e. Met)
94	47, 93	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> t C_ dom dom D)
95	50	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> Y = dom dom D)
96	94, 95	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> t C_ Y)
97	96	sseld 2619	. . . . . . . . 9 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. t -> z e. Y))
98	92, 97	jcad 661	. . . . . . . 8 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. t -> (z e. U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} /\ z e. Y)))
99		elin 2786	. . . . . . . 8 |- (z e. (U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} i^i Y) <-> (z e. U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} /\ z e. Y))
100	98, 99	syl6ibr 230	. . . . . . 7 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. t -> z e. (U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} i^i Y)))
101		simpll 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x) -> (y( ball ` D)r) C_ t)
102	101	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> (y( ball ` D)r) C_ t)
103	93	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> D e. Met)
104	103	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> D e. Met)
105		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. Y) -> y e. Y)
106	50	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. Y) -> Y = dom dom D)
107	105, 106	eleqtrd 1973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. Y) -> y e. dom dom D)
108	107	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> y e. dom dom D)
109	108	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> y e. dom dom D)
110	20	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> r e. RR)
111	110	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> r e. RR)
112	23	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> 0 < r)
113	112	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> 0 < r)
114	46	elbl 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((D e. Met /\ y e. dom dom D) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (z e. (y( ball ` D)r) <-> (z e. dom dom D /\ (yDz) < r)))
115	104, 109, 111, 113, 114	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> (z e. (y( ball ` D)r) <-> (z e. dom dom D /\ (yDz) < r)))
116		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ z e. Y) -> z e. Y)
117	50	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ z e. Y) -> Y = dom dom D)
118	116, 117	eleqtrd 1973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ z e. Y) -> z e. dom dom D)
119	118	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ z e. Y) -> z e. dom dom D)
120	119	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ z e. Y) -> z e. dom dom D)
121	120	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> z e. dom dom D)
122	2	metf 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (C e. Met -> C:(X X. X)-->RR)
123		ffun 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (C:(X X. X)-->RR -> Fun C)
124	122, 123	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (C e. Met -> Fun C)
125	124	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> Fun C)
126	125	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> Fun C)
127	126	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> Fun C)
128	46	metf 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (D e. Met -> D:(dom dom D X. dom dom D)-->RR)
129		ffn 4562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (D:(dom dom D X. dom dom D)-->RR -> D Fn (dom dom D X. dom dom D))
130	38, 128, 129	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (C e. Met -> D Fn (dom dom D X. dom dom D))
131	130	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> D Fn (dom dom D X. dom dom D))
132	131	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> D Fn (dom dom D X. dom dom D))
133	132	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> D Fn (dom dom D X. dom dom D))
134		resss 4237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (C |` (Y X. Y)) C_ C
135	1, 134	eqsstri 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- D C_ C
136	135	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> D C_ C)
137		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> y e. Y)
138	137	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> y e. Y)
139	50	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> Y = dom dom D)
140	139	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> Y = dom dom D)
141	138, 140	eleqtrd 1973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> y e. dom dom D)
142		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> z e. Y)
143	142, 140	eleqtrd 1973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> z e. dom dom D)
144		oprssoprv 4964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((Fun C /\ D Fn (dom dom D X. dom dom D) /\ D C_ C) /\ (y e. dom dom D /\ z e. dom dom D)) -> (yCz) = (yDz))
145	127, 133, 136, 141, 143, 144	syl32anc 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> (yCz) = (yDz))
146		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x = (y( ball ` C)r) /\ z e. x) -> z e. x)
147		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x = (y( ball ` C)r) /\ z e. x) -> x = (y( ball ` C)r))
148	146, 147	eleqtrd 1973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((x = (y( ball ` C)r) /\ z e. x) -> z e. (y( ball ` C)r))
149	148	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x) -> z e. (y( ball ` C)r))
150	149	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> z e. (y( ball ` C)r))
151		simplll 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> C e. Met)
152	151	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> C e. Met)
153	15	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ y e. Y) -> y e. X)
154	153	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> y e. X)
155	154	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> y e. X)
156		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((Y C_ X /\ z e. Y) -> z e. X)
157	156	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ z e. Y) -> z e. X)
158	157	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ z e. Y) -> z e. X)
159	158	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ z e. Y) -> z e. X)
160	159	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> z e. X)
161		rpregt0 7242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (r e. RR+ -> (r e. RR /\ 0 < r))
162	161	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) -> (r e. RR /\ 0 < r))
163	162	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> (r e. RR /\ 0 < r))
164	2	elbl2 9116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((C e. Met /\ y e. X /\ z e. X) /\ (r e. RR /\ 0 < r)) -> (z e. (y( ball ` C)r) <-> (yCz) < r))
165	152, 155, 160, 163, 164	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> (z e. (y( ball ` C)r) <-> (yCz) < r))
166	150, 165	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> (yCz) < r)
167	145, 166	eqbrtrrd 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> (yDz) < r)
168	115, 121, 167	mpbir2and 802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> z e. (y( ball ` D)r))
169	102, 168	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) /\ (y e. Y /\ r e. RR+)) /\ (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) /\ z e. x)) /\ z e. Y) -> z e. t)
170	169	exp53 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> ((y e. Y /\ r e. RR+) -> (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) -> (z e. x -> (z e. Y -> z e. t)))))
171	170	com14 42	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. x -> ((y e. Y /\ r e. RR+) -> (((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) -> (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. Y -> z e. t)))))
172	171	r19.23advv 2218	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. x -> (E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r)) -> (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. Y -> z e. t))))
173	172	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. Y -> z e. t)))
174	173	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> ((z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> (z e. Y -> z e. t)))
175	174	19.23adv 1584	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) -> (z e. Y -> z e. t)))
176	175	imp3a 388	. . . . . . . . 9 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> ((E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))) /\ z e. Y) -> z e. t))
177	91	biimpi 168	. . . . . . . . 9 |- (z e. U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} -> E.x(z e. x /\ E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))))
178	176, 177	sylani 513	. . . . . . . 8 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> ((z e. U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} /\ z e. Y) -> z e. t))
179	178, 99	syl5ib 223	. . . . . . 7 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. (U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} i^i Y) -> z e. t))
180	100, 179	impbid 574	. . . . . 6 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> (z e. t <-> z e. (U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} i^i Y)))
181	180	eqrdv 1882	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> t = (U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} i^i Y))
182		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.J = U.J
183	182	elsubsp 10248	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ Y C_ U.J) /\ (U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} e. J /\ t = (U.{x | E.y e. Y E.r e. RR+ ((y( ball ` D)r) C_ t /\ x = (y( ball ` C)r))} i^i Y))) -> t e. (subSp` <.Y, J>.))
184	8, 13, 36, 181, 183	syl22anc 1101	. . . 4 |- (((C e. Met /\ Y C_ X) /\ t e. K) -> t e. (subSp` <.Y, J>.))
185	184	ex 402	. . 3 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (t e. K -> t e. (subSp` <.Y, J>.)))
186	6, 185	impbid 574	. 2 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (t e. (subSp` <.Y, J>.) <-> t e. K))
187	186	eqrdv 1882	1 |- ((C e. Met /\ Y C_ X) -> (subSp` <.Y, J>.) = K)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  RR+crp 6453   < clt 6653  Topctop 8857  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  ivthALT 15454  stioo 15845  dfii3 15870  iccst 15875  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  pcocn 16076  pcohtpylem3 16082  pcopt 16084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-rp 7232  df-top 8861  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain