MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubm Structured version   Unicode version

Theorem subsubm 15840
Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subsubm  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H )  <->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) ) )

Proof of Theorem subsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
21submss 15833 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  A  C_  ( Base `  H ) )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  ( Base `  H ) )
4 subsubm.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
54submbas 15838 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
73, 6sseqtr4d 3546 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  S
)
8 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
98submss 15833 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
117, 10sstrd 3519 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  ( Base `  G ) )
12 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
134, 12subm0 15839 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
15 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
1615subm0cl 15835 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  ( 0g `  H )  e.  A
)
1716adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  H )  e.  A
)
1814, 17eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  A
)
194oveq1i 6304 . . . . . . 7  |-  ( Hs  A )  =  ( ( Gs  S )s  A )
20 ressabs 14565 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S )  ->  (
( Gs  S )s  A )  =  ( Gs  A ) )
2119, 20syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S )  ->  ( Hs  A )  =  ( Gs  A ) )
227, 21syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Hs  A
)  =  ( Gs  A ) )
23 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Hs  A )  =  ( Hs  A )
2423submmnd 15837 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  ( Hs  A
)  e.  Mnd )
2524adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Hs  A
)  e.  Mnd )
2622, 25eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Gs  A
)  e.  Mnd )
27 submrcl 15829 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
2827adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  G  e.  Mnd )
29 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Gs  A )  =  ( Gs  A )
308, 12, 29issubm2 15831 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( A  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  A  /\  ( Gs  A )  e.  Mnd ) ) )
3128, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( A  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  A  /\  ( Gs  A )  e.  Mnd )
) )
3211, 18, 26, 31mpbir3and 1179 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  e.  (SubMnd `  G ) )
3332, 7jca 532 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) )
34 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  C_  S )
355adantr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
3634, 35sseqtrd 3545 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  C_  ( Base `  H
) )
3713adantr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H
) )
3812subm0cl 15835 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  A
)
3938ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  A )
4037, 39eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  H )  e.  A )
4121adantrl 715 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Hs  A )  =  ( Gs  A ) )
4229submmnd 15837 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( Gs  A
)  e.  Mnd )
4342ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Gs  A )  e.  Mnd )
4441, 43eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Hs  A )  e.  Mnd )
454submmnd 15837 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
4645adantr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  H  e.  Mnd )
471, 15, 23issubm2 15831 . . . 4  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  <->  ( A  C_  ( Base `  H )  /\  ( 0g `  H
)  e.  A  /\  ( Hs  A )  e.  Mnd ) ) )
4846, 47syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  <->  ( A  C_  ( Base `  H )  /\  ( 0g `  H
)  e.  A  /\  ( Hs  A )  e.  Mnd ) ) )
4936, 40, 44, 48mpbir3and 1179 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  e.  (SubMnd `  H )
)
5033, 49impbida 830 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H )  <->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   ↾s cress 14503   0gc0g 14707   Mndcmnd 15772  SubMndcsubmnd 15818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820
This theorem is referenced by:  zrhpsgnmhm  18466  amgmlem  23162  nn0archi  27626
  Copyright terms: Public domain W3C validator