MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubm Structured version   Unicode version

Theorem subsubm 15490
Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subsubm  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H )  <->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) ) )

Proof of Theorem subsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
21submss 15483 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  A  C_  ( Base `  H ) )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  ( Base `  H ) )
4 subsubm.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
54submbas 15488 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
73, 6sseqtr4d 3398 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  S
)
8 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
98submss 15483 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
117, 10sstrd 3371 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  ( Base `  G ) )
12 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
134, 12subm0 15489 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
15 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
1615subm0cl 15485 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  ( 0g `  H )  e.  A
)
1716adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  H )  e.  A
)
1814, 17eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  A
)
194oveq1i 6106 . . . . . . 7  |-  ( Hs  A )  =  ( ( Gs  S )s  A )
20 ressabs 14241 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S )  ->  (
( Gs  S )s  A )  =  ( Gs  A ) )
2119, 20syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S )  ->  ( Hs  A )  =  ( Gs  A ) )
227, 21syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Hs  A
)  =  ( Gs  A ) )
23 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Hs  A )  =  ( Hs  A )
2423submmnd 15487 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  ( Hs  A
)  e.  Mnd )
2524adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Hs  A
)  e.  Mnd )
2622, 25eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Gs  A
)  e.  Mnd )
27 submrcl 15479 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
2827adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  G  e.  Mnd )
29 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Gs  A )  =  ( Gs  A )
308, 12, 29issubm2 15481 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( A  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  A  /\  ( Gs  A )  e.  Mnd ) ) )
3128, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( A  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  A  /\  ( Gs  A )  e.  Mnd )
) )
3211, 18, 26, 31mpbir3and 1171 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  e.  (SubMnd `  G ) )
3332, 7jca 532 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) )
34 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  C_  S )
355adantr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
3634, 35sseqtrd 3397 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  C_  ( Base `  H
) )
3713adantr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H
) )
3812subm0cl 15485 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  A
)
3938ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  A )
4037, 39eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  H )  e.  A )
4121adantrl 715 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Hs  A )  =  ( Gs  A ) )
4229submmnd 15487 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( Gs  A
)  e.  Mnd )
4342ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Gs  A )  e.  Mnd )
4441, 43eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Hs  A )  e.  Mnd )
454submmnd 15487 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
4645adantr 465 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  H  e.  Mnd )
471, 15, 23issubm2 15481 . . . 4  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  <->  ( A  C_  ( Base `  H )  /\  ( 0g `  H
)  e.  A  /\  ( Hs  A )  e.  Mnd ) ) )
4846, 47syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  <->  ( A  C_  ( Base `  H )  /\  ( 0g `  H
)  e.  A  /\  ( Hs  A )  e.  Mnd ) ) )
4936, 40, 44, 48mpbir3and 1171 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  e.  (SubMnd `  H )
)
5033, 49impbida 828 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H )  <->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   ↾s cress 14180   0gc0g 14383   Mndcmnd 15414  SubMndcsubmnd 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-submnd 15470
This theorem is referenced by:  zrhpsgnmhm  18019  amgmlem  22388  nn0archi  26316
  Copyright terms: Public domain W3C validator