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Theorem subsubelfzo0 30359
Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
subsubelfzo0  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ N )  /\  I  e.  ( 0..^ N )  /\  -.  I  < 
( N  -  A
) )  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0..^ A ) )

Proof of Theorem subsubelfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzo0 11705 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0..^ N )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  A  <  N
) )
2 elfzo0 11705 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )
3 nnre 10441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
433ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  N  e.  RR )
5 nn0re 10700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  ->  A  e.  RR )
7 resubcl 9785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( N  -  A
)  e.  RR )
84, 6, 7syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
9 nn0re 10700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
1093ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  I  e.  RR )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  I  e.  RR )
12 lenlt 9565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  -  A
)  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( N  -  A )  <_  I  <->  -.  I  <  ( N  -  A ) ) )
1312bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  -  A
)  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( -.  I  < 
( N  -  A
)  <->  ( N  -  A )  <_  I
) )
148, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A )  <->  ( N  -  A )  <_  I
) )
1514biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A )  -> 
( N  -  A
)  <_  I )
)
1615imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( N  -  A )  <_  I
)
17 nnz 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
18173ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
19 nn0z 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  ->  A  e.  ZZ )
21 zsubcl 10799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A
)  e.  ZZ )
2218, 20, 21syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( N  -  A )  e.  ZZ )
23 ltle 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( A  <  N  ->  A  <_  N )
)
245, 4, 23syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N ) )  ->  ( A  < 
N  ->  A  <_  N ) )
2524impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  -> 
( ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
)  ->  A  <_  N ) )
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  A  <_  N )
27 subge0 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  A )  <->  A  <_  N ) )
284, 6, 27syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  A )  <->  A  <_  N ) )
2926, 28mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  0  <_  ( N  -  A
) )
3022, 29jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  (
( N  -  A
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( N  -  A ) ) )
31 elnn0z 10771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  A )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  A )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  A
) ) )
3230, 31sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( N  -  A )  e.  NN0 )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( N  -  A )  e.  NN0 )
34 simplr1 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  I  e.  NN0 )
35 nn0sub 10742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  A
)  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  A )  <_  I  <->  ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  NN0 ) )
3633, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( ( N  -  A )  <_  I 
<->  ( I  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
)
3716, 36mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  NN0 )
38 elnn0uz 11010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  NN0  <->  ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3937, 38sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4020adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  A  e.  ZZ )
4140adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  A  e.  ZZ )
429adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  I  e.  RR )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  I  e.  RR )
443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  N  e.  RR )
4644, 5, 7syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
4743, 45, 46ltsub1d 10060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( I  <  N  <->  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  ( N  -  ( N  -  A ) ) ) )
48 nncn 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
50 nn0cn 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
51 nncan 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  -  ( N  -  A )
)  =  A )
5249, 50, 51syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( N  -  ( N  -  A ) )  =  A )
5352breq2d 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( (
I  -  ( N  -  A ) )  <  ( N  -  ( N  -  A
) )  <->  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) )
5453biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( (
I  -  ( N  -  A ) )  <  ( N  -  ( N  -  A
) )  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A ) )
5547, 54sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( I  <  N  ->  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) )
5655ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  ->  ( I  -  ( N  -  A )
)  <  A )
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  -> 
( ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A ) ) )
5857com3l 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  ->  ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  ->  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) ) )
59583impia 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  (
( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  ->  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  A
) )
6059impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A )
6160adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  A
)
6239, 41, 613jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A )
)  <  A )
)
6362ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A )  -> 
( ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A ) ) )
6463ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  -> 
( ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
)  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A )  ->  (
( I  -  ( N  -  A )
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) ) ) )
652, 64syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ N )  -> 
( -.  I  < 
( N  -  A
)  ->  ( (
I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  A
) ) ) )
66653adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  A  <  N )  ->  (
I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A )  -> 
( ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A ) ) ) )
671, 66sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ N )  ->  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A
)  ->  ( (
I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  A
) ) ) )
68673imp 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ N )  /\  I  e.  ( 0..^ N )  /\  -.  I  < 
( N  -  A
) )  ->  (
( I  -  ( N  -  A )
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) )
69 elfzo2 11674 . 2  |-  ( ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0..^ A )  <->  ( ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A )
)  <  A )
)
7068, 69sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ N )  /\  I  e.  ( 0..^ N )  /\  -.  I  < 
( N  -  A
) )  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0..^ A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707   NNcn 10434   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973  ..^cfzo 11666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667
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