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Theorem subsubelfzo0 32176
Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
subsubelfzo0  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ N )  /\  I  e.  ( 0..^ N )  /\  -.  I  < 
( N  -  A
) )  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0..^ A ) )

Proof of Theorem subsubelfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzo0 11842 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0..^ N )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  A  <  N
) )
2 elfzo0 11842 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )
3 nnre 10549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
433ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  N  e.  RR )
5 nn0re 10810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  ->  A  e.  RR )
7 resubcl 9888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( N  -  A
)  e.  RR )
84, 6, 7syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
9 nn0re 10810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
1093ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  I  e.  RR )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  I  e.  RR )
12 lenlt 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  -  A
)  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( N  -  A )  <_  I  <->  -.  I  <  ( N  -  A ) ) )
1312bicomd 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  A
)  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( -.  I  < 
( N  -  A
)  <->  ( N  -  A )  <_  I
) )
148, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A )  <->  ( N  -  A )  <_  I
) )
1514biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( N  -  A )  <_  I
)
16 nnz 10892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
17163ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
18 nn0z 10893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  ->  A  e.  ZZ )
20 zsubcl 10912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A
)  e.  ZZ )
2117, 19, 20syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( N  -  A )  e.  ZZ )
22 ltle 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( A  <  N  ->  A  <_  N )
)
235, 4, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N ) )  ->  ( A  < 
N  ->  A  <_  N ) )
2423impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  -> 
( ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
)  ->  A  <_  N ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  A  <_  N )
26 subge0 10071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  A )  <->  A  <_  N ) )
274, 6, 26syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  A )  <->  A  <_  N ) )
2825, 27mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  0  <_  ( N  -  A
) )
29 elnn0z 10883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  A )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  A )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  A
) ) )
3021, 28, 29sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  ( N  -  A )  e.  NN0 )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( N  -  A )  e.  NN0 )
32 simplr1 1039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  I  e.  NN0 )
33 nn0sub 10852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  A
)  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  A )  <_  I  <->  ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  NN0 ) )
3431, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( ( N  -  A )  <_  I 
<->  ( I  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
)
3515, 34mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  NN0 )
36 elnn0uz 11127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  NN0  <->  ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3735, 36sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3819adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  A  e.  ZZ )
3938adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  A  e.  ZZ )
409adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  I  e.  RR )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  I  e.  RR )
423adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  N  e.  RR )
4442, 5, 7syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
4541, 43, 44ltsub1d 10167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( I  <  N  <->  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  ( N  -  ( N  -  A ) ) ) )
46 nncn 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
48 nn0cn 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
49 nncan 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  -  ( N  -  A )
)  =  A )
5047, 48, 49syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( N  -  ( N  -  A ) )  =  A )
5150breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( (
I  -  ( N  -  A ) )  <  ( N  -  ( N  -  A
) )  <->  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) )
5251biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( (
I  -  ( N  -  A ) )  <  ( N  -  ( N  -  A
) )  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A ) )
5345, 52sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  ( I  <  N  ->  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) )
5453ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  ->  ( I  -  ( N  -  A )
)  <  A )
) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  -> 
( ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A ) ) )
5655com3l 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  ->  ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  ->  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) ) )
57563impia 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  (
( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  ->  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  A
) )
5857impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  A
)
6037, 39, 593jca 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
NN0  /\  A  <  N )  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )  /\  -.  I  <  ( N  -  A ) )  ->  ( ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A )
)  <  A )
)
6160exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  -> 
( ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
)  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A )  ->  (
( I  -  ( N  -  A )
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) ) ) )
622, 61syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  A  <  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ N )  -> 
( -.  I  < 
( N  -  A
)  ->  ( (
I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  A
) ) ) )
63623adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  A  <  N )  ->  (
I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A )  -> 
( ( I  -  ( N  -  A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  (
I  -  ( N  -  A ) )  <  A ) ) ) )
641, 63sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ N )  ->  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( -.  I  <  ( N  -  A
)  ->  ( (
I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A
) )  <  A
) ) ) )
65643imp 1191 . 2  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ N )  /\  I  e.  ( 0..^ N )  /\  -.  I  < 
( N  -  A
) )  ->  (
( I  -  ( N  -  A )
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A ) )  < 
A ) )
66 elfzo2 11811 . 2  |-  ( ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0..^ A )  <->  ( ( I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( I  -  ( N  -  A )
)  <  A )
)
6765, 66sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  ( 0..^ N )  /\  I  e.  ( 0..^ N )  /\  -.  I  < 
( N  -  A
) )  ->  (
I  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0..^ A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090  ..^cfzo 11803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804
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