MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubd Structured version   Unicode version

Theorem subsubd 9997
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subsubd  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  -  B )  +  C ) )

Proof of Theorem subsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subsub 9887 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1232 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  -  B )  +  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844  (class class class)co 6280   CCcc 9522    + caddc 9527    - cmin 9843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-sub 9845
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11763  bcm1k  12439  crre  13098  imval2  13135  cvgcmp  13783  arisum2  13826  mertenslem1  13847  binomfallfaclem2  13987  fallfacval4  13990  bpolydiflem  14001  bpoly3  14005  bpoly4  14006  cos01bnd  14132  prmdiv  14526  dvle  22702  dvfsumlem2  22722  efif1olem2  23224  affineequiv  23484  heron  23496  dquart  23511  quartlem1  23515  acosneg  23545  efiatan2  23575  atans2  23589  birthdaylem2  23610  lgamcvg2  23712  wilthlem2  23726  basellem5  23741  pntrlog2bndlem4  24148  pntrlog2bndlem5  24149  pntrlog2bndlem6  24151  colinearalglem2  24639  axsegconlem9  24657  clwlkisclwwlklem2a1  25208  clwlkisclwwlklem2a4  25213  clwwlkext2edg  25231  extwwlkfablem1  25503  extwwlkfablem2  25507  subfacp1lem5  29494  itg2addnclem  31452  itg2addnclem3  31454  rmspecsqrtnq  35216  sub31  36864  stoweidlem26  37189  fourierdlem19  37289  fourierdlem63  37333  fourierdlem107  37377
  Copyright terms: Public domain W3C validator