MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubd Structured version   Unicode version

Theorem subsubd 9949
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subsubd  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  -  B )  +  C ) )

Proof of Theorem subsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subsub 9840 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1223 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  -  B )  +  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762  (class class class)co 6277   CCcc 9481    + caddc 9486    - cmin 9796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624  df-sub 9798
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11698  bcm1k  12350  crre  12899  imval2  12936  cvgcmp  13581  arisum2  13626  mertenslem1  13647  cos01bnd  13773  prmdiv  14165  dvle  22138  dvfsumlem2  22158  efif1olem2  22658  affineequiv  22880  heron  22892  dquart  22907  quartlem1  22911  acosneg  22941  efiatan2  22971  atans2  22985  birthdaylem2  23005  wilthlem2  23066  basellem5  23081  pntrlog2bndlem4  23488  pntrlog2bndlem5  23489  pntrlog2bndlem6  23491  colinearalglem2  23881  axsegconlem9  23899  clwlkisclwwlklem2a1  24443  clwlkisclwwlklem2a4  24448  clwwlkext2edg  24466  extwwlkfablem1  24739  extwwlkfablem2  24743  lgamcvg2  28225  subfacp1lem5  28256  binomfallfaclem2  28727  fallfacval4  28730  bpolydiflem  29381  bpoly3  29385  bpoly4  29386  itg2addnclem  29632  itg2addnclem3  29634  rmspecsqrnq  30435  sub31  31013  stoweidlem26  31283  fourierdlem19  31383  fourierdlem63  31427  fourierdlem107  31471
  Copyright terms: Public domain W3C validator