MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubd Structured version   Unicode version

Theorem subsubd 9737
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subsubd  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  -  B )  +  C ) )

Proof of Theorem subsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subsub 9629 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1213 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  -  B )  +  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1757  (class class class)co 6082   CCcc 9270    + caddc 9275    - cmin 9585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-op 3874  df-uni 4082  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-ltxr 9413  df-sub 9587
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11460  bcm1k  12077  crre  12589  imval2  12626  cvgcmp  13264  arisum2  13308  mertenslem1  13329  cos01bnd  13455  prmdiv  13845  dvle  21323  dvfsumlem2  21343  efif1olem2  21886  affineequiv  22108  heron  22120  dquart  22135  quartlem1  22139  acosneg  22169  efiatan2  22199  atans2  22213  birthdaylem2  22233  wilthlem2  22294  basellem5  22309  pntrlog2bndlem4  22716  pntrlog2bndlem5  22717  pntrlog2bndlem6  22719  colinearalglem2  22978  axsegconlem9  22996  lgamcvg2  26891  subfacp1lem5  26922  binomfallfaclem2  27392  fallfacval4  27395  bpolydiflem  28046  bpoly3  28050  bpoly4  28051  itg2addnclem  28289  itg2addnclem3  28291  rmspecsqrnq  29094  stoweidlem26  29669  clwlkisclwwlklem2a1  30289  clwlkisclwwlklem2a4  30294  clwwlkext2edg  30312  extwwlkfablem1  30515  extwwlkfablem2  30519
  Copyright terms: Public domain W3C validator