Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem subsubc 15836
 Description: A subcategory of a subcategory is a subcategory. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubc.d cat
Assertion
Ref Expression
subsubc Subcat Subcat Subcat cat

Proof of Theorem subsubc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 Subcat Subcat
2 eqid 2471 . . . . . 6 f f
31, 2subcssc 15823 . . . . 5 Subcat cat f
4 subsubc.d . . . . . . 7 cat
5 eqid 2471 . . . . . . 7
6 subcrcl 15799 . . . . . . 7 Subcat
7 id 22 . . . . . . . 8 Subcat Subcat
8 eqidd 2472 . . . . . . . 8 Subcat
97, 8subcfn 15824 . . . . . . 7 Subcat
107, 9, 5subcss1 15825 . . . . . . 7 Subcat
114, 5, 6, 9, 10reschomf 15814 . . . . . 6 Subcat f
1211breq2d 4407 . . . . 5 Subcat cat cat f
133, 12syl5ibr 229 . . . 4 Subcat Subcat cat
1413pm4.71rd 647 . . 3 Subcat Subcat cat Subcat
15 simpr 468 . . . . . . . 8 Subcat cat cat
16 simpl 464 . . . . . . . . 9 Subcat cat Subcat
17 eqid 2471 . . . . . . . . 9 f f
1816, 17subcssc 15823 . . . . . . . 8 Subcat cat cat f
19 ssctr 15808 . . . . . . . 8 cat cat f cat f
2015, 18, 19syl2anc 673 . . . . . . 7 Subcat cat cat f
2112biimpa 492 . . . . . . 7 Subcat cat cat f
2220, 212thd 248 . . . . . 6 Subcat cat cat f cat f
2316adantr 472 . . . . . . . . 9 Subcat cat Subcat
249adantr 472 . . . . . . . . . 10 Subcat cat
2524adantr 472 . . . . . . . . 9 Subcat cat
26 eqid 2471 . . . . . . . . 9
27 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12 Subcat cat
2815, 27sscfn1 15800 . . . . . . . . . . 11 Subcat cat
2928, 24, 15ssc1 15804 . . . . . . . . . 10 Subcat cat
3029sselda 3418 . . . . . . . . 9 Subcat cat
314, 23, 25, 26, 30subcid 15830 . . . . . . . 8 Subcat cat
3231eleq1d 2533 . . . . . . 7 Subcat cat
3332ralbidva 2828 . . . . . 6 Subcat cat
344oveq1i 6318 . . . . . . . 8 cat cat cat
356adantr 472 . . . . . . . . 9 Subcat cat
36 dmexg 6743 . . . . . . . . . . 11 Subcat
37 dmexg 6743 . . . . . . . . . . 11
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 Subcat
3938adantr 472 . . . . . . . . 9 Subcat cat
4035, 24, 28, 39, 29rescabs 15816 . . . . . . . 8 Subcat cat cat cat cat
4134, 40syl5req 2518 . . . . . . 7 Subcat cat cat cat
4241eleq1d 2533 . . . . . 6 Subcat cat cat cat
4322, 33, 423anbi123d 1365 . . . . 5 Subcat cat cat f cat cat f cat
44 eqid 2471 . . . . . 6 cat cat
4517, 26, 44, 35, 28issubc3 15832 . . . . 5 Subcat cat Subcat cat f cat
46 eqid 2471 . . . . . 6
47 eqid 2471 . . . . . 6 cat cat
484, 7subccat 15831 . . . . . . 7 Subcat
4948adantr 472 . . . . . 6 Subcat cat
502, 46, 47, 49, 28issubc3 15832 . . . . 5 Subcat cat Subcat cat f cat
5143, 45, 503bitr4rd 294 . . . 4 Subcat cat Subcat Subcat
5251pm5.32da 653 . . 3 Subcat cat Subcat cat Subcat
5314, 52bitrd 261 . 2 Subcat Subcat cat Subcat
54 ancom 457 . 2 cat Subcat Subcat cat
5553, 54syl6bb 269 1 Subcat Subcat Subcat cat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   class class class wbr 4395   cxp 4837   cdm 4839   wfn 5584  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199  ccat 15648  ccid 15649   f chomf 15650   cat cssc 15790   cat cresc 15791  Subcatcsubc 15792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-hom 15292  df-cco 15293  df-cat 15652  df-cid 15653  df-homf 15654  df-ssc 15793  df-resc 15794  df-subc 15795 This theorem is referenced by:  fldhmsubc  40594  fldhmsubcALTV  40613
 Copyright terms: Public domain W3C validator