MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4d Structured version   Unicode version

Theorem subsub4d 9961
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subsub4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  -  C
)  =  ( A  -  ( B  +  C ) ) )

Proof of Theorem subsub4d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subsub4 9852 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  -  C )  =  ( A  -  ( B  +  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  -  C
)  =  ( A  -  ( B  +  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490    + caddc 9495    - cmin 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-sub 9807
This theorem is referenced by:  sub1m1  10789  cnm2m1cnm3  10790  nn0n0n1ge2  10859  ubmelm1fzo  11876  hashf1  12472  ccatass  12570  isercolllem1  13450  caucvgrlem  13458  fsumparts  13583  incexclem  13611  arisum2  13635  sin01bnd  13781  cos01bnd  13782  vdwlem5  14362  vdwlem8  14365  efgredleme  16567  opnreen  21099  pjthlem1  21615  dveflem  22143  dvcvx  22184  dvfsumlem1  22190  efif1olem2  22691  tanarg  22760  dcubic1  22932  dquartlem1  22938  tanatan  23006  atans2  23018  harmonicbnd4  23096  basellem5  23114  logfaclbnd  23253  bcmono  23308  lgsquadlem1  23385  mulogsumlem  23472  mulog2sumlem1  23475  vmalogdivsum  23480  selbergr  23509  selberg3r  23510  brbtwn2  23912  colinearalglem1  23913  colinearalglem2  23914  colinearalglem4  23916  ax5seglem1  23935  clwlkisclwwlklem2a1  24483  clwlkisclwwlklem2a4  24488  clwlkisclwwlklem2a  24489  clwwlkext2edg  24506  nbhashuvtx1  24619  extwwlkfablem2  24783  numclwwlkovf2ex  24791  pjhthlem1  26013  lt2addrd  27259  ballotlemfp1  28098  signstfveq0  28202  bpolydiflem  29421  bpoly4  29426  fperdvper  31276  itgsinexp  31300  stoweidlem26  31354  stoweidlem34  31362  stirlinglem5  31406  fourierdlem26  31461  fourierdlem42  31477  fourierdlem107  31542
  Copyright terms: Public domain W3C validator