MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4d Structured version   Unicode version

Theorem subsub4d 10016
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subsub4d  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  -  C
)  =  ( A  -  ( B  +  C ) ) )

Proof of Theorem subsub4d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subsub4 9906 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  -  C )  =  ( A  -  ( B  +  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1264 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  -  C
)  =  ( A  -  ( B  +  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870  (class class class)co 6305   CCcc 9536    + caddc 9541    - cmin 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-sub 9861
This theorem is referenced by:  sub1m1  10863  cnm2m1cnm3  10864  nn0n0n1ge2  10932  ubmelm1fzo  12004  hashf1  12615  ccatass  12719  isercolllem1  13706  caucvgrlem  13714  caucvgrlemOLD  13715  fsumparts  13844  incexclem  13872  arisum2  13897  bpolydiflem  14085  bpoly4  14090  sin01bnd  14217  cos01bnd  14218  vdwlem5  14898  vdwlem8  14901  efgredleme  17332  opnreen  21764  pjthlem1  22276  dveflem  22816  dvcvx  22857  dvfsumlem1  22863  efif1olem2  23365  tanarg  23441  dcubic1  23644  dquartlem1  23650  tanatan  23718  atans2  23730  harmonicbnd4  23809  basellem5  23882  logfaclbnd  24021  bcmono  24076  lgsquadlem1  24153  mulogsumlem  24240  mulog2sumlem1  24243  vmalogdivsum  24248  selbergr  24277  selberg3r  24278  brbtwn2  24789  colinearalglem1  24790  colinearalglem2  24791  colinearalglem4  24793  ax5seglem1  24812  clwlkisclwwlklem2a4  25365  clwlkisclwwlklem2a  25366  clwwlkext2edg  25383  nbhashuvtx1  25496  extwwlkfablem2  25659  numclwwlkovf2ex  25667  pjhthlem1  26887  lt2addrd  28177  ballotlemfp1  29158  signstfveq0  29262  bcprod  30169  suplesup  37186  fperdvper  37377  dvnxpaek  37401  itgsinexp  37415  stoweidlem26  37470  stoweidlem34  37479  stirlinglem5  37524  fourierdlem26  37579  fourierdlem107  37660  dignn0flhalflem1  39211
  Copyright terms: Public domain W3C validator