MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4 Structured version   Unicode version

Theorem subsub4 9887
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subsub4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  -  C )  =  ( A  -  ( B  +  C
) ) )

Proof of Theorem subsub4
StepHypRef Expression
1 nppcan2 9885 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  ( B  +  C )
)  +  C )  =  ( A  -  B ) )
2 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
3 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
4 subcl 9854 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
52, 3, 4syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
6 simp3 999 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
73, 6addcld 9644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  +  C )  e.  CC )
8 subcl 9854 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  +  C
)  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  +  C
) )  e.  CC )
92, 7, 8syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  +  C ) )  e.  CC )
10 subadd2 9859 . . 3  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  ( A  -  ( B  +  C ) )  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  -  C
)  =  ( A  -  ( B  +  C ) )  <->  ( ( A  -  ( B  +  C ) )  +  C )  =  ( A  -  B ) ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  -  C
)  =  ( A  -  ( B  +  C ) )  <->  ( ( A  -  ( B  +  C ) )  +  C )  =  ( A  -  B ) ) )
121, 11mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  -  C )  =  ( A  -  ( B  +  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6277   CCcc 9519    + caddc 9524    - cmin 9840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842
This theorem is referenced by:  sub32  9888  nnncan  9889  pnpcan  9893  addsub4  9897  subsub4d  9997  2shfti  13060  divalglem2  14260  nn0seqcvgd  14406  plydivlem4  22982  ax5seglem7  24642  itg2addnclem3  31421
  Copyright terms: Public domain W3C validator