MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub3d Structured version   Unicode version

Theorem subsub3d 9917
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subsub3d  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  +  C )  -  B ) )

Proof of Theorem subsub3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subsub3 9807 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  +  C )  -  B
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1230 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  +  C )  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6234   CCcc 9440    + caddc 9445    - cmin 9761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-ltxr 9583  df-sub 9763
This theorem is referenced by:  bcpasc  12353  swrdccatin12lem2  12677  spllen  12693  revccat  12703  fsumparts  13678  binomlem  13699  fallfacfwd  13888  binomfallfaclem2  13892  4sqlem5  14561  4sqlem12  14575  srgbinomlem4  17406  ovollb2lem  22083  dvcvx  22605  dvfsumlem4  22614  heron  23386  selberg3lem1  24015  pntrsumo1  24023  selberg34r  24029  pntrlog2bndlem5  24039  brbtwn2  24506  colinearalglem1  24507  colinearalglem2  24508  colinearalglem4  24510  clwlkisclwwlklem0  25086  fwddifnp1  30491  dvnmul  37090  stoweidlem21  37153  wallispilem5  37201  fourierdlem42  37281  fourierdlem63  37302  xp1d2m1eqxm1d2  37643  pfxccatin12lem2  37891
  Copyright terms: Public domain W3C validator