MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub Structured version   Unicode version

Theorem subsub 9743
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
subsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )

Proof of Theorem subsub
StepHypRef Expression
1 subsub2 9741 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( A  +  ( C  -  B ) ) )
2 addsubass 9724 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
)  -  B )  =  ( A  +  ( C  -  B
) ) )
3 addsub 9725 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
)  -  B )  =  ( ( A  -  B )  +  C ) )
42, 3eqtr3d 2494 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( C  -  B ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
543com23 1194 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  +  ( C  -  B ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
61, 5eqtrd 2492 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6193   CCcc 9384    + caddc 9389    - cmin 9699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-sub 9701
This theorem is referenced by:  nppcan2  9744  pnncan  9754  subneg  9762  negsubdi  9769  subsubd  9851  peano5uzi  10834  uzindOLD  10840  swrd2lsw  12663  divalglem0  13708  chtublem  22676  bposlem6  22754  ax5seglem7  23326  bpoly2  28337  bpoly3  28338  fsumcube  28340  numclwlk1lem2foa  30825
  Copyright terms: Public domain W3C validator