MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub Structured version   Unicode version

Theorem subsub 9884
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
subsub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )

Proof of Theorem subsub
StepHypRef Expression
1 subsub2 9882 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( A  +  ( C  -  B ) ) )
2 addsubass 9865 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
)  -  B )  =  ( A  +  ( C  -  B
) ) )
3 addsub 9866 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  C
)  -  B )  =  ( ( A  -  B )  +  C ) )
42, 3eqtr3d 2445 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( C  -  B ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
543com23 1203 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  +  ( C  -  B ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
61, 5eqtrd 2443 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  -  B )  +  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6277   CCcc 9519    + caddc 9524    - cmin 9840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842
This theorem is referenced by:  nppcan2  9885  pnncan  9895  subneg  9903  negsubdi  9910  subsubd  9994  peano5uzi  10991  swrd2lsw  12944  bpoly2  14000  bpoly3  14001  fsumcube  14003  divalglem0  14258  chtublem  23865  bposlem6  23943  ax5seglem7  24642  numclwlk1lem2foa  25495
  Copyright terms: Public domain W3C validator