Theorem subspopn 15837

Description: An open set is open in the subspace topology.

Hypothesis

Ref	Expression
subspopn.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
subspopn	|- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ (B e. J /\ B C_ A)) -> B e. (subSp` <.A, J>.))

Proof of Theorem subspopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 450	. . 3 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ (B e. J /\ B C_ A)) -> B e. J)
2		dfss 2606	. . . . 5 |- (B C_ A <-> B = (B i^i A))
3	2	biimpi 168	. . . 4 |- (B C_ A -> B = (B i^i A))
4	3	ad2antll 443	. . 3 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ (B e. J /\ B C_ A)) -> B = (B i^i A))
5		ineq1 2789	. . . . 5 |- (v = B -> (v i^i A) = (B i^i A))
6	5	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (v = B -> (B = (v i^i A) <-> B = (B i^i A)))
7	6	rcla4ev 2381	. . 3 |- ((B e. J /\ B = (B i^i A)) -> E.v e. J B = (v i^i A))
8	1, 4, 7	syl11anc 524	. 2 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ (B e. J /\ B C_ A)) -> E.v e. J B = (v i^i A))
9		simpll 448	. . 3 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ (B e. J /\ B C_ A)) -> J e. Top)
10		ssexg 3457	. . . . . 6 |- ((A C_ X /\ X e. _V) -> A e. _V)
11		uniexg 3795	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
12		subspopn.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
13	11, 12	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (J e. Top -> X e. _V)
14	10, 13	sylan2 500	. . . . 5 |- ((A C_ X /\ J e. Top) -> A e. _V)
15	14	ancoms 484	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> A e. _V)
16	15	adantr 425	. . 3 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ (B e. J /\ B C_ A)) -> A e. _V)
17		issubspt 10247	. . 3 |- ((J e. Top /\ B e. J /\ A e. _V) -> (B e. (subSp` <.A, J>.) <-> E.v e. J B = (v i^i A)))
18	9, 1, 16, 17	syl111anc 1100	. 2 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ (B e. J /\ B C_ A)) -> (B e. (subSp` <.A, J>.) <-> E.v e. J B = (v i^i A)))
19	8, 18	mpbird 213	1 |- (((J e. Top /\ A C_ X) /\ (B e. J /\ B C_ A)) -> B e. (subSp` <.A, J>.))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  subSpcsubsp 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-top 8861  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain