Theorem subspid 10249

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
subspid.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
subspid	|- (J e. Top -> (subSp` <.X, J>.) = J)

Proof of Theorem subspid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 3795	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
2		subspid.1	. . . . 5 |- X = U.J
3	1, 2	syl5eqel 1975	. . . 4 |- (J e. Top -> X e. _V)
4		visset 2295	. . . . 5 |- o e. _V
5		issubspt 10247	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ o e. _V /\ X e. _V) -> (o e. (subSp` <.X, J>.) <-> E.t e. J o = (t i^i X)))
6	4, 5	mp3an2 1179	. . . 4 |- ((J e. Top /\ X e. _V) -> (o e. (subSp` <.X, J>.) <-> E.t e. J o = (t i^i X)))
7	3, 6	mpdan 768	. . 3 |- (J e. Top -> (o e. (subSp` <.X, J>.) <-> E.t e. J o = (t i^i X)))
8		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (o = (t i^i X) -> (o e. J <-> (t i^i X) e. J))
9	2	topopn 8871	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> X e. J)
10	9	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ t e. J) -> X e. J)
11		inopn 8869	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ t e. J /\ X e. J) -> (t i^i X) e. J)
12	10, 11	mpd3an3 1192	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ t e. J) -> (t i^i X) e. J)
13	8, 12	syl5cbir 228	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ t e. J) -> (o = (t i^i X) -> o e. J))
14	13	r19.23adva 2216	. . . 4 |- (J e. Top -> (E.t e. J o = (t i^i X) -> o e. J))
15		simpr 350	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ o e. J) -> o e. J)
16	2	eltopss 8872	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ o e. J) -> o C_ X)
17		df-ss 2605	. . . . . . . 8 |- (o C_ X <-> (o i^i X) = o)
18	16, 17	sylib 215	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ o e. J) -> (o i^i X) = o)
19	18	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ o e. J) -> o = (o i^i X))
20		ineq1 2789	. . . . . . . 8 |- (t = o -> (t i^i X) = (o i^i X))
21	20	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (t = o -> (o = (t i^i X) <-> o = (o i^i X)))
22	21	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((o e. J /\ o = (o i^i X)) -> E.t e. J o = (t i^i X))
23	15, 19, 22	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ o e. J) -> E.t e. J o = (t i^i X))
24	23	ex 402	. . . 4 |- (J e. Top -> (o e. J -> E.t e. J o = (t i^i X)))
25	14, 24	impbid 574	. . 3 |- (J e. Top -> (E.t e. J o = (t i^i X) <-> o e. J))
26	7, 25	bitrd 587	. 2 |- (J e. Top -> (o e. (subSp` <.X, J>.) <-> o e. J))
27	26	eqrdv 1882	1 |- (J e. Top -> (subSp` <.X, J>.) = J)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  retopcon 15452  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  reparphtlem2 16064  pcohtpylem3 16082

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-top 8861  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain