Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgunit Structured version   Unicode version

Theorem subrgunit 17247
 Description: An element of a ring is a unit of a subring iff it is a unit of the parent ring and both it and its inverse are in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 s
subrgugrp.2 Unit
subrgugrp.3 Unit
subrgunit.4
Assertion
Ref Expression
subrgunit SubRing

Proof of Theorem subrgunit
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . . . 5 s
2 subrgugrp.2 . . . . 5 Unit
3 subrgugrp.3 . . . . 5 Unit
41, 2, 3subrguss 17244 . . . 4 SubRing
54sselda 3504 . . 3 SubRing
6 eqid 2467 . . . . . 6
76, 3unitcl 17109 . . . . 5
87adantl 466 . . . 4 SubRing
91subrgbas 17238 . . . . 5 SubRing
109adantr 465 . . . 4 SubRing
118, 10eleqtrrd 2558 . . 3 SubRing
121subrgrng 17232 . . . . 5 SubRing
13 eqid 2467 . . . . . 6
143, 13, 6rnginvcl 17126 . . . . 5
1512, 14sylan 471 . . . 4 SubRing
16 subrgunit.4 . . . . 5
171, 16, 3, 13subrginv 17245 . . . 4 SubRing
1815, 17, 103eltr4d 2570 . . 3 SubRing
195, 11, 183jca 1176 . 2 SubRing
20 simpr2 1003 . . . . . 6 SubRing
219adantr 465 . . . . . 6 SubRing
2220, 21eleqtrd 2557 . . . . 5 SubRing
23 simpr3 1004 . . . . . 6 SubRing
2423, 21eleqtrd 2557 . . . . 5 SubRing
25 eqid 2467 . . . . . 6 r r
26 eqid 2467 . . . . . 6
276, 25, 26dvdsrmul 17098 . . . . 5 r
2822, 24, 27syl2anc 661 . . . 4 SubRing r
29 subrgrcl 17234 . . . . . . 7 SubRing
3029adantr 465 . . . . . 6 SubRing
31 simpr1 1002 . . . . . 6 SubRing
32 eqid 2467 . . . . . . 7
33 eqid 2467 . . . . . . 7
342, 16, 32, 33unitlinv 17127 . . . . . 6
3530, 31, 34syl2anc 661 . . . . 5 SubRing
361, 32ressmulr 14608 . . . . . . 7 SubRing
3736adantr 465 . . . . . 6 SubRing
3837oveqd 6301 . . . . 5 SubRing
391, 33subrg1 17239 . . . . . 6 SubRing
4039adantr 465 . . . . 5 SubRing
4135, 38, 403eqtr3d 2516 . . . 4 SubRing
4228, 41breqtrd 4471 . . 3 SubRing r
43 eqid 2467 . . . . . . 7 oppr oppr
4443, 6opprbas 17079 . . . . . 6 oppr
45 eqid 2467 . . . . . 6 roppr roppr
46 eqid 2467 . . . . . 6 oppr oppr
4744, 45, 46dvdsrmul 17098 . . . . 5 ropproppr
4822, 24, 47syl2anc 661 . . . 4 SubRing ropproppr
496, 26, 43, 46opprmul 17076 . . . . 5 oppr
502, 16, 32, 33unitrinv 17128 . . . . . . 7
5130, 31, 50syl2anc 661 . . . . . 6 SubRing
5237oveqd 6301 . . . . . 6 SubRing
5351, 52, 403eqtr3d 2516 . . . . 5 SubRing
5449, 53syl5eq 2520 . . . 4 SubRing oppr
5548, 54breqtrd 4471 . . 3 SubRing roppr
56 eqid 2467 . . . 4
573, 56, 25, 43, 45isunit 17107 . . 3 r roppr
5842, 55, 57sylanbrc 664 . 2 SubRing
5919, 58impbida 830 1 SubRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   class class class wbr 4447  cfv 5588  (class class class)co 6284  cbs 14490   ↾s cress 14491  cmulr 14556  cur 16955  crg 17000  opprcoppr 17072  rcdsr 17088  Unitcui 17089  cinvr 17121  SubRingcsubrg 17225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-subg 16003  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-subrg 17227 This theorem is referenced by:  issubdrg  17254  gzrngunit  18279  zringunit  18315  zrngunit  18316  cphreccllem  21388
 Copyright terms: Public domain W3C validator