MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgsubm Structured version   Unicode version

Theorem subrgsubm 16900
Description: A subring is a submonoid of the multiplicative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgsubm.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
subrgsubm  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubMnd `  M ) )

Proof of Theorem subrgsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
21subrgss 16888 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
43subrg1cl 16895 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  e.  A
)
5 subrgrcl 16892 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
7 subrgsubm.1 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
86, 7mgpress 16624 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( Ms  A
)  =  (mulGrp `  ( Rs  A ) ) )
95, 8mpancom 669 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Ms  A
)  =  (mulGrp `  ( Rs  A ) ) )
106subrgrng 16890 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
11 eqid 2443 . . . . 5  |-  (mulGrp `  ( Rs  A ) )  =  (mulGrp `  ( Rs  A
) )
1211rngmgp 16673 . . . 4  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
(mulGrp `  ( Rs  A
) )  e.  Mnd )
1310, 12syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  (mulGrp `  ( Rs  A ) )  e. 
Mnd )
149, 13eqeltrd 2517 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Ms  A
)  e.  Mnd )
157rngmgp 16673 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
167, 1mgpbas 16619 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
177, 3rngidval 16627 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  M
)
18 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Ms  A )  =  ( Ms  A )
1916, 17, 18issubm2 15497 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd ) ) )
205, 15, 193syl 20 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R )  e.  A  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )
) )
212, 4, 14, 20mpbir3and 1171 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubMnd `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3349   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   ↾s cress 14196   Mndcmnd 15430  SubMndcsubmnd 15484  mulGrpcmgp 16613   1rcur 16625   Ringcrg 16667  SubRingcsubrg 16883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-subrg 16885
This theorem is referenced by:  resrhm  16916  rhmima  16918  mplbas2  17573  mplbas2OLD  17574  zrhpsgnmhm  18036  plypf1  21702  wilthlem2  22429  wilthlem3  22430  lgsqrlem1  22702  lgseisenlem4  22713  dchrisum0flblem1  22779  mat2cnstpmatmhm  31096
  Copyright terms: Public domain W3C validator