MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgsubm Structured version   Unicode version

Theorem subrgsubm 17313
Description: A subring is a submonoid of the multiplicative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgsubm.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
subrgsubm  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubMnd `  M ) )

Proof of Theorem subrgsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
21subrgss 17301 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
43subrg1cl 17308 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  e.  A
)
5 subrgrcl 17305 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
7 subrgsubm.1 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
86, 7mgpress 17024 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( Ms  A
)  =  (mulGrp `  ( Rs  A ) ) )
95, 8mpancom 669 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Ms  A
)  =  (mulGrp `  ( Rs  A ) ) )
106subrgring 17303 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
11 eqid 2467 . . . . 5  |-  (mulGrp `  ( Rs  A ) )  =  (mulGrp `  ( Rs  A
) )
1211ringmgp 17076 . . . 4  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
(mulGrp `  ( Rs  A
) )  e.  Mnd )
1310, 12syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  (mulGrp `  ( Rs  A ) )  e. 
Mnd )
149, 13eqeltrd 2555 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Ms  A
)  e.  Mnd )
157ringmgp 17076 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
167, 1mgpbas 17019 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
177, 3rngidval 17027 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  M
)
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Ms  A )  =  ( Ms  A )
1916, 17, 18issubm2 15851 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd ) ) )
205, 15, 193syl 20 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R )  e.  A  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )
) )
212, 4, 14, 20mpbir3and 1179 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubMnd `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   Mndcmnd 15793  SubMndcsubmnd 15838  mulGrpcmgp 17013   1rcur 17025   Ringcrg 17070  SubRingcsubrg 17296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298
This theorem is referenced by:  resrhm  17329  rhmima  17331  mplbas2  18004  mplbas2OLD  18005  zrhpsgnmhm  18489  m2cpmmhm  19115  plypf1  22477  wilthlem2  23209  wilthlem3  23210  lgsqrlem1  23482  lgseisenlem4  23493  dchrisum0flblem1  23559
  Copyright terms: Public domain W3C validator