MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgsubg Structured version   Unicode version

Theorem subrgsubg 17218
Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgsubg  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )

Proof of Theorem subrgsubg
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 17217 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
2 rnggrp 16991 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Grp )
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
54subrgss 17213 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
76subrgrng 17215 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
8 rnggrp 16991 . . 3  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( Rs  A )  e.  Grp )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Grp )
104issubg 15996 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  <->  ( R  e. 
Grp  /\  A  C_  ( Base `  R )  /\  ( Rs  A )  e.  Grp ) )
113, 5, 9, 10syl3anbrc 1180 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   ↾s cress 14487   Grpcgrp 15723  SubGrpcsubg 15990   Ringcrg 16986  SubRingcsubrg 17208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-subg 15993  df-rng 16988  df-subrg 17210
This theorem is referenced by:  subrg0  17219  subrgbas  17221  subrgacl  17223  issubrg2  17232  subrgint  17234  resrhm  17241  rhmima  17243  abvres  17271  issubassa2  17765  resspsrmul  17843  subrgpsr  17845  mplbas2  17905  mplbas2OLD  17906  gsumply1subr  18046  zsssubrg  18244  gzrngunitlem  18250  zringlpirlem1  18276  zringcyg  18280  zlpirlem1  18281  zcyg  18285  prmirred  18292  prmirredOLD  18295  expghmOLD  18297  mulgrhm2OLD  18303  zndvds  18355  resubgval  18412  subrgnrg  20917  sranlm  20928  clmsub  21315  clmneg  21316  clmabs  21317  clmsubcl  21320  cphsqrtcl3  21369  tchcph  21415  plypf1  22344  dvply2g  22415  taylply2  22497  jensenlem2  23045  amgmlem  23047  lgseisenlem4  23355  qrng0  23534  qrngneg  23536  subrgchr  27447  nn0archi  27496  rezh  27588  qqhcn  27608  qqhucn  27609  fsumcnsrcl  30720  cnsrplycl  30721  rngunsnply  30727  zringsubgval  32068
  Copyright terms: Public domain W3C validator