MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgsubg Structured version   Unicode version

Theorem subrgsubg 16849
Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgsubg  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )

Proof of Theorem subrgsubg
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 16848 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
2 rnggrp 16638 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Grp )
4 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
54subrgss 16844 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
6 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
76subrgrng 16846 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
8 rnggrp 16638 . . 3  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( Rs  A )  e.  Grp )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Grp )
104issubg 15672 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  <->  ( R  e. 
Grp  /\  A  C_  ( Base `  R )  /\  ( Rs  A )  e.  Grp ) )
113, 5, 9, 10syl3anbrc 1172 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    C_ wss 3323   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   ↾s cress 14167   Grpcgrp 15402  SubGrpcsubg 15666   Ringcrg 16633  SubRingcsubrg 16839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6089  df-subg 15669  df-rng 16635  df-subrg 16841
This theorem is referenced by:  subrg0  16850  subrgbas  16852  subrgacl  16854  issubrg2  16863  subrgint  16865  resrhm  16872  rhmima  16874  abvres  16902  issubassa2  17392  resspsrmul  17466  subrgpsr  17468  mplbas2  17526  mplbas2OLD  17527  gsumply1subr  17663  zsssubrg  17846  gzrngunitlem  17852  zringlpirlem1  17878  zringcyg  17882  zlpirlem1  17883  zcyg  17887  prmirred  17894  prmirredOLD  17897  expghmOLD  17899  mulgrhm2OLD  17905  zndvds  17957  resubgval  18014  subrgnrg  20229  sranlm  20240  clmsub  20627  clmneg  20628  clmabs  20629  clmsubcl  20632  cphsqrcl3  20681  tchcph  20727  plypf1  21655  dvply2g  21726  taylply2  21808  jensenlem2  22356  amgmlem  22358  lgseisenlem4  22666  qrng0  22845  qrngneg  22847  subrgchr  26213  nn0archi  26263  rezh  26352  qqhcn  26372  qqhucn  26373  fsumcnsrcl  29476  cnsrplycl  29477  rngunsnply  29483  zringsubgval  30778
  Copyright terms: Public domain W3C validator