MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Unicode version

Theorem subrgss 17409
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgss  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2issubrg 17408 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  A
) ) )
43simprbi 464 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  C_  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  A ) )
54simpld 459 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   ↾s cress 14615   1rcur 17132   Ringcrg 17177  SubRingcsubrg 17404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-ov 6284  df-subrg 17406
This theorem is referenced by:  subrgsubg  17414  subrg1  17418  subrgsubm  17421  subrgdvds  17422  subrguss  17423  subrginv  17424  subrgdv  17425  subrgmre  17432  issubdrg  17433  subsubrg  17434  abvres  17467  sralmod  17812  issubassa  17952  sraassa  17953  aspid  17958  issubassa2  17973  resspsrbas  18049  resspsradd  18050  resspsrmul  18051  resspsrvsca  18052  mplassa  18095  ressmplbas2  18096  subrgascl  18142  subrgasclcl  18143  mplind  18146  evlsval2  18168  evlssca  18170  evlsscasrng  18174  mpfconst  18178  mpff  18181  mpfaddcl  18182  mpfmulcl  18183  mpfind  18184  ply1assa  18217  evls1val  18336  evls1rhm  18338  evls1sca  18339  evls1scasrng  18354  pf1f  18365  cnsubrg  18457  sranlm  21171  clmsscn  21557  cphreccllem  21603  cphdivcl  21607  cphabscl  21610  cphsqrtcl2  21611  cphsqrtcl3  21612  cphipcl  21616  resscdrg  21776  srabn  21778  plypf1  22587  dvply2g  22659  taylply2  22741  cnsrexpcl  31090  fsumcnsrcl  31091  cnsrplycl  31092  rgspnid  31097  rngunsnply  31098  sdrgacs  31126
  Copyright terms: Public domain W3C validator