MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Unicode version

Theorem subrgss 17206
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgss  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2460 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2issubrg 17205 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  A
) ) )
43simprbi 464 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  C_  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  A ) )
54simpld 459 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   ↾s cress 14480   1rcur 16936   Ringcrg 16979  SubRingcsubrg 17201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-ov 6278  df-subrg 17203
This theorem is referenced by:  subrgsubg  17211  subrg1  17215  subrgsubm  17218  subrgdvds  17219  subrguss  17220  subrginv  17221  subrgdv  17222  subrgmre  17229  issubdrg  17230  subsubrg  17231  abvres  17264  sralmod  17609  issubassa  17737  sraassa  17738  aspid  17743  issubassa2  17758  resspsrbas  17834  resspsradd  17835  resspsrmul  17836  resspsrvsca  17837  mplassa  17880  ressmplbas2  17881  subrgascl  17927  subrgasclcl  17928  mplind  17931  evlsval2  17953  evlssca  17955  evlsscasrng  17959  mpfconst  17963  mpff  17966  mpfaddcl  17967  mpfmulcl  17968  mpfind  17969  ply1assa  18002  evls1val  18121  evls1rhm  18123  evls1sca  18124  evls1scasrng  18139  pf1f  18150  cnsubrg  18239  sranlm  20921  clmsscn  21307  cphreccllem  21353  cphdivcl  21357  cphabscl  21360  cphsqrcl2  21361  cphsqrcl3  21362  cphipcl  21366  resscdrg  21526  srabn  21528  plypf1  22337  dvply2g  22408  taylply2  22490  cnsrexpcl  30708  fsumcnsrcl  30709  cnsrplycl  30710  rgspnid  30715  rngunsnply  30716  sdrgacs  30744
  Copyright terms: Public domain W3C validator