MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgrng Structured version   Unicode version

Theorem subrgrng 16976
Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgrng.1  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgrng  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )

Proof of Theorem subrgrng
StepHypRef Expression
1 subrgrng.1 . 2  |-  S  =  ( Rs  A )
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3issubrg 16973 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A ) ) )
54simplbi 460 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )
)
65simprd 463 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
71, 6syl5eqel 2543 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3428   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   ↾s cress 14279   1rcur 16710   Ringcrg 16753  SubRingcsubrg 16969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fv 5526  df-ov 6195  df-subrg 16971
This theorem is referenced by:  subrgcrng  16977  subrgsubg  16979  subrg1  16983  subrgmcl  16985  subrgsubm  16986  subrguss  16988  subrginv  16989  subrgunit  16991  subrgugrp  16992  issubdrg  16998  subsubrg  16999  resrhm  17002  abvres  17032  sralmod  17376  subrgnzr  17457  issubassa  17503  subrgpsr  17600  mplrng  17640  subrgmvrf  17650  subrgascl  17689  subrgasclcl  17690  evlssca  17717  evlsvar  17718  mpfconst  17725  mpfproj  17726  mpfsubrg  17727  ply1rng  17812  evls1sca  17869  evls1gsumadd  17870  evls1varpw  17872  gzrngunitlem  17988  gzrngunit  17989  zlpirlem1  18019  zlpirlem3  18021  zlpir  18022  prmirredlemOLD  18031  prmirredOLD  18033  mulgghm2OLD  18039  mulgrhmOLD  18040  znlidlOLD  18079  reefgim  22033  amgmlem  22501  mzpmfpOLD  29224  dmatcrng  31037  scmatcrng  31044  scmatsgrp1  31045  scmatsrng1  31046  m2cpmrhm  31211
  Copyright terms: Public domain W3C validator