MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgrcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem subrgrcl 18013
Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgrcl  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem subrgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2issubrg 18008 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A ) ) )
43simplbi 462 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )
)
54simpld 461 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1887    C_ wss 3404   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   ↾s cress 15122   1rcur 17735   Ringcrg 17780  SubRingcsubrg 18004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-ov 6293  df-subrg 18006
This theorem is referenced by:  subrgsubg  18014  subrg1  18018  subrgsubm  18021  subrginv  18024  subrgunit  18026  subrgugrp  18027  opprsubrg  18029  subrgint  18030  subsubrg  18034  sralmod  18410  subrgpsr  18643  subrgmpl  18684  subrgmvr  18685  subrgmvrf  18686  subrgascl  18721  subrgasclcl  18722
  Copyright terms: Public domain W3C validator