MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Unicode version

Theorem subrgpsr 18578
Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
subrgpsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgpsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
subrgpsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
subrgpsr  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  e.  (SubRing `  S )
)

Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  I  e.  V )
3 subrgrcl 17948 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
43adantl 467 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  R  e.  Ring )
51, 2, 4psrring 18570 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  S  e.  Ring )
6 subrgpsr.u . . . . 5  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
7 subrgpsr.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
87subrgring 17946 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  H  e.  Ring )
98adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  H  e.  Ring )
106, 2, 9psrring 18570 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  U  e.  Ring )
11 subrgpsr.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  U
)
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  =  ( Base `  U
) )
13 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Ss  B )  =  ( Ss  B )
14 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  T  e.  (SubRing `  R )
)
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 18574 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  =  ( Base `  ( Ss  B ) ) )
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 18575 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  U
) y )  =  ( x ( +g  `  ( Ss  B ) ) y ) )
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 18576 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( .r `  U ) y )  =  ( x ( .r `  ( Ss  B ) ) y ) )
1812, 15, 16, 17ringpropd 17747 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( U  e.  Ring  <->  ( Ss  B
)  e.  Ring )
)
1910, 18mpbid 213 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( Ss  B )  e.  Ring )
205, 19jca 534 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( S  e.  Ring  /\  ( Ss  B )  e.  Ring ) )
21 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2213, 21ressbasss 15143 . . . 4  |-  ( Base `  ( Ss  B ) )  C_  ( Base `  S )
2315, 22syl6eqss 3520 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
24 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2524subrg1cl 17951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  e.  T
)
26 subrgsubg 17949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
27 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2827subg0cl 16776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( 0g `  R )  e.  T
)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 0g `  R )  e.  T
)
3025, 29ifcld 3958 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  if (
x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  e.  T
)
3130adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  T )
327subrgbas 17952 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
3332adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  T  =  ( Base `  H
) )
3431, 33eleqtrd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H
) )
3534adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R ) )  /\  x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H ) )
36 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( x  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )
3735, 36fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  (
x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
38 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
39 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
401, 2, 4, 38, 27, 24, 39psr1 18571 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( 1r `  S )  =  ( x  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
4140feq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  (
( 1r `  S
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H )  <->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) ) )
4237, 41mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( 1r `  S ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
43 fvex 5891 . . . . . 6  |-  ( Base `  H )  e.  _V
44 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4544rabex 4576 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
4643, 45elmap 7508 . . . . 5  |-  ( ( 1r `  S )  e.  ( ( Base `  H )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  <->  ( 1r `  S ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H
) )
4742, 46sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( 1r `  S )  e.  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
48 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
496, 48, 38, 11, 2psrbas 18537 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  =  ( ( Base `  H )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
5047, 49eleqtrrd 2520 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( 1r `  S )  e.  B )
5123, 50jca 534 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( B  C_  ( Base `  S
)  /\  ( 1r `  S )  e.  B
) )
5221, 39issubrg 17943 . 2  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  <->  ( ( S  e.  Ring  /\  ( Ss  B )  e.  Ring )  /\  ( B  C_  ( Base `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  B ) ) )
5320, 51, 52sylanbrc 668 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  e.  (SubRing `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786    C_ wss 3442   ifcif 3915   {csn 4002    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   0cc0 9538   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   ↾s cress 15085   0gc0g 15297  SubGrpcsubg 16762   1rcur 17670   Ringcrg 17715  SubRingcsubrg 17939   mPwSer cmps 18510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-psr 18515
This theorem is referenced by:  ressmplbas2  18614  subrgmpl  18619
  Copyright terms: Public domain W3C validator