Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Unicode version

Theorem subrgpsr 17873
 Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s mPwSer
subrgpsr.h s
subrgpsr.u mPwSer
subrgpsr.b
Assertion
Ref Expression
subrgpsr SubRing SubRing

Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . . 4 mPwSer
2 simpl 457 . . . 4 SubRing
3 subrgrcl 17234 . . . . 5 SubRing
43adantl 466 . . . 4 SubRing
51, 2, 4psrrng 17865 . . 3 SubRing
6 subrgpsr.u . . . . 5 mPwSer
7 subrgpsr.h . . . . . . 7 s
87subrgrng 17232 . . . . . 6 SubRing
98adantl 466 . . . . 5 SubRing
106, 2, 9psrrng 17865 . . . 4 SubRing
11 subrgpsr.b . . . . . 6
1211a1i 11 . . . . 5 SubRing
13 eqid 2467 . . . . . 6 s s
14 simpr 461 . . . . . 6 SubRing SubRing
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 17869 . . . . 5 SubRing s
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 17870 . . . . 5 SubRing s
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 17871 . . . . 5 SubRing s
1812, 15, 16, 17rngpropd 17031 . . . 4 SubRing s
1910, 18mpbid 210 . . 3 SubRing s
205, 19jca 532 . 2 SubRing s
21 eqid 2467 . . . . 5
2213, 21ressbasss 14547 . . . 4 s
2315, 22syl6eqss 3554 . . 3 SubRing
24 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
2524subrg1cl 17237 . . . . . . . . . . 11 SubRing
26 subrgsubg 17235 . . . . . . . . . . . 12 SubRing SubGrp
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
2827subg0cl 16014 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
2926, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubRing
30 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11
3125, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 SubRing
3231adantl 466 . . . . . . . . 9 SubRing
337subrgbas 17238 . . . . . . . . . 10 SubRing
3433adantl 466 . . . . . . . . 9 SubRing
3532, 34eleqtrd 2557 . . . . . . . 8 SubRing
3635adantr 465 . . . . . . 7 SubRing
37 eqid 2467 . . . . . . 7
3836, 37fmptd 6045 . . . . . 6 SubRing
39 eqid 2467 . . . . . . . 8
40 eqid 2467 . . . . . . . 8
411, 2, 4, 39, 27, 24, 40psr1 17866 . . . . . . 7 SubRing
4241feq1d 5717 . . . . . 6 SubRing
4338, 42mpbird 232 . . . . 5 SubRing
44 fvex 5876 . . . . . 6
45 ovex 6309 . . . . . . 7
4645rabex 4598 . . . . . 6
4744, 46elmap 7447 . . . . 5
4843, 47sylibr 212 . . . 4 SubRing
49 eqid 2467 . . . . 5
506, 49, 39, 11, 2psrbas 17829 . . . 4 SubRing
5148, 50eleqtrrd 2558 . . 3 SubRing
5223, 51jca 532 . 2 SubRing
5321, 40issubrg 17229 . 2 SubRing s
5420, 52, 53sylanbrc 664 1 SubRing SubRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818   wss 3476  cif 3939  csn 4027   cmpt 4505   cxp 4997  ccnv 4998  cima 5002  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmap 7420  cfn 7516  cc0 9492  cn 10536  cn0 10795  cbs 14490   ↾s cress 14491  c0g 14695  SubGrpcsubg 16000  cur 16955  crg 17000  SubRingcsubrg 17225   mPwSer cmps 17799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-subrg 17227  df-psr 17804 This theorem is referenced by:  ressmplbas2  17916  subrgmpl  17921
 Copyright terms: Public domain W3C validator