Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpropd Structured version   Unicode version

Theorem subrgpropd 17783
 Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpropd.1
subrgpropd.2
subrgpropd.3
subrgpropd.4
Assertion
Ref Expression
subrgpropd SubRing SubRing
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem subrgpropd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpropd.1 . . . . . 6
2 subrgpropd.2 . . . . . 6
3 subrgpropd.3 . . . . . 6
4 subrgpropd.4 . . . . . 6
51, 2, 3, 4ringpropd 17550 . . . . 5
61ineq2d 3641 . . . . . . 7
7 vex 3062 . . . . . . . 8
8 eqid 2402 . . . . . . . . 9 s s
9 eqid 2402 . . . . . . . . 9
108, 9ressbas 14898 . . . . . . . 8 s
117, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 s
126, 11syl6eq 2459 . . . . . 6 s
132ineq2d 3641 . . . . . . 7
14 eqid 2402 . . . . . . . . 9 s s
15 eqid 2402 . . . . . . . . 9
1614, 15ressbas 14898 . . . . . . . 8 s
177, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 s
1813, 17syl6eq 2459 . . . . . 6 s
19 inss2 3660 . . . . . . . . 9
2019sseli 3438 . . . . . . . 8
2119sseli 3438 . . . . . . . 8
2220, 21anim12i 564 . . . . . . 7
23 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
248, 23ressplusg 14955 . . . . . . . . . 10 s
257, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 s
2625oveqi 6291 . . . . . . . 8 s
27 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
2814, 27ressplusg 14955 . . . . . . . . . 10 s
297, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 s
3029oveqi 6291 . . . . . . . 8 s
313, 26, 303eqtr3g 2466 . . . . . . 7 s s
3222, 31sylan2 472 . . . . . 6 s s
33 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
348, 33ressmulr 14966 . . . . . . . . . 10 s
357, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9 s
3635oveqi 6291 . . . . . . . 8 s
37 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11
3814, 37ressmulr 14966 . . . . . . . . . 10 s
397, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 s
4039oveqi 6291 . . . . . . . 8 s
414, 36, 403eqtr3g 2466 . . . . . . 7 s s
4222, 41sylan2 472 . . . . . 6 s s
4312, 18, 32, 42ringpropd 17550 . . . . 5 s s
445, 43anbi12d 709 . . . 4 s s
451, 2eqtr3d 2445 . . . . . 6
4645sseq2d 3470 . . . . 5
471, 2, 4rngidpropd 17664 . . . . . 6
4847eleq1d 2471 . . . . 5
4946, 48anbi12d 709 . . . 4
5044, 49anbi12d 709 . . 3 s s
51 eqid 2402 . . . 4
529, 51issubrg 17749 . . 3 SubRing s
53 eqid 2402 . . . 4
5415, 53issubrg 17749 . . 3 SubRing s
5550, 52, 543bitr4g 288 . 2 SubRing SubRing
5655eqrdv 2399 1 SubRing SubRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3059   cin 3413   wss 3414  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   ↾s cress 14842   cplusg 14909  cmulr 14910  cur 17473  crg 17518  SubRingcsubrg 17745 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-subrg 17747 This theorem is referenced by:  ply1subrg  18556  subrgply1  18594
 Copyright terms: Public domain W3C validator