MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmpl Structured version   Unicode version

Theorem subrgmpl 18248
Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmpl.s  |-  S  =  ( I mPoly  R )
subrgmpl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgmpl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
subrgmpl.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
subrgmpl  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  e.  (SubRing `  S )
)

Proof of Theorem subrgmpl
StepHypRef Expression
1 subrgmpl.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPoly  R )
2 subrgmpl.h . . . 4  |-  H  =  ( Rs  T )
3 subrgmpl.u . . . 4  |-  U  =  ( I mPoly  H )
4 subrgmpl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  U
)
5 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  I  e.  V )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  T  e.  (SubRing `  R )
)
7 eqid 2457 . . . 4  |-  ( I mPwSer  H )  =  ( I mPwSer  H )
8 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
9 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ressmplbas2 18243 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  =  ( ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  i^i  ( Base `  S ) ) )
11 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
1211, 2, 7, 8subrgpsr 18200 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  H
) )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
13 subrgrcl 17560 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  R  e.  Ring )
1511, 1, 9, 5, 14mplsubrg 18228 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( Base `  S )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
16 subrgin 17578 . . . 4  |-  ( ( ( Base `  (
I mPwSer  H ) )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( Base `  S )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )  -> 
( ( Base `  (
I mPwSer  H ) )  i^i  ( Base `  S
) )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
1712, 15, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  (
( Base `  ( I mPwSer  H ) )  i^i  ( Base `  S ) )  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
1810, 17eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
19 inss2 3715 . . 3  |-  ( (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  i^i  ( Base `  S ) ) 
C_  ( Base `  S
)
2010, 19syl6eqss 3549 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
211, 11, 9mplval2 18216 . . . 4  |-  S  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  S
) )
2221subsubrg 17581 . . 3  |-  ( (
Base `  S )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  ->  ( B  e.  (SubRing `  S
)  <->  ( B  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  /\  B  C_  ( Base `  S
) ) ) )
2315, 22syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  ( B  e.  (SubRing `  S
)  <->  ( B  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  /\  B  C_  ( Base `  S
) ) ) )
2418, 20, 23mpbir2and 922 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  e.  (SubRing `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   ↾s cress 14644   Ringcrg 17324  SubRingcsubrg 17551   mPwSer cmps 18126   mPoly cmpl 18128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-tset 14730  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-subrg 17553  df-psr 18131  df-mpl 18133
This theorem is referenced by:  subrgply1  18400
  Copyright terms: Public domain W3C validator