MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmcl Structured version   Unicode version

Theorem subrgmcl 16877
Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgmcl.p  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
subrgmcl  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  A
)

Proof of Theorem subrgmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
21subrgrng 16868 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
323ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
4 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  X  e.  A )
51subrgbas 16874 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
653ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
74, 6eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  X  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
8 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  Y  e.  A )
98, 6eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  Y  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
10 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  ( Rs  A ) )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  ( Rs  A ) )  =  ( .r
`  ( Rs  A ) )
1210, 11rngcl 16658 . . 3  |-  ( ( ( Rs  A )  e.  Ring  /\  X  e.  ( Base `  ( Rs  A ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( X ( .r `  ( Rs  A ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
133, 7, 9, 12syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X
( .r `  ( Rs  A ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
14 subrgmcl.p . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
151, 14ressmulr 14291 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
16153ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
1716oveqd 6108 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  =  ( X ( .r `  ( Rs  A ) ) Y ) )
1813, 17, 63eltr4d 2524 1  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   .rcmulr 14239   Ringcrg 16645  SubRingcsubrg 16861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-mnd 15415  df-subg 15678  df-mgp 16592  df-rng 16647  df-subrg 16863
This theorem is referenced by:  issubrg2  16885  subrgint  16887  abvres  16924  issubassa2  17415  resspsrmul  17489  mplbas2  17551  mplbas2OLD  17552  mpfmulcl  17621  pf1mulcl  17788  cnsubrg  17873  clmmcl  20656  cphdivcl  20701  cphabscl  20704  cphsqrcl2  20705  cphsqrcl3  20706  plypf1  21680  dvply2g  21751  taylply2  21833  cnsrexpcl  29522  cnsrplycl  29524  rngunsnply  29530
  Copyright terms: Public domain W3C validator