MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmcl Structured version   Unicode version

Theorem subrgmcl 17653
Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgmcl.p  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
subrgmcl  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  A
)

Proof of Theorem subrgmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
21subrgring 17644 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
323ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
4 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  X  e.  A )
51subrgbas 17650 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
653ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
74, 6eleqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  X  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
8 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  Y  e.  A )
98, 6eleqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  Y  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
10 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  ( Rs  A ) )
11 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .r
`  ( Rs  A ) )  =  ( .r
`  ( Rs  A ) )
1210, 11ringcl 17424 . . 3  |-  ( ( ( Rs  A )  e.  Ring  /\  X  e.  ( Base `  ( Rs  A ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( X ( .r `  ( Rs  A ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
133, 7, 9, 12syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X
( .r `  ( Rs  A ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
14 subrgmcl.p . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
151, 14ressmulr 14858 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
16153ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
1716oveqd 6251 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  =  ( X ( .r `  ( Rs  A ) ) Y ) )
1813, 17, 63eltr4d 2505 1  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   ↾s cress 14734   .rcmulr 14802   Ringcrg 17410  SubRingcsubrg 17637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-subg 16414  df-mgp 17354  df-ring 17412  df-subrg 17639
This theorem is referenced by:  issubrg2  17661  subrgint  17663  abvres  17700  issubassa2  18206  resspsrmul  18284  mplbas2  18346  mplbas2OLD  18347  mpfmulcl  18416  pf1mulcl  18602  cnsubrg  18690  chfacfisfcpmat  19540  clmmcl  21768  cphdivcl  21813  cphabscl  21816  cphsqrtcl2  21817  cphsqrtcl3  21818  plypf1  22793  dvply2g  22865  taylply2  22947  cnsrexpcl  35459  cnsrplycl  35461  rngunsnply  35467
  Copyright terms: Public domain W3C validator