Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdv Structured version   Unicode version

Theorem subrgdv 17320
 Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdv.1 s
subrgdv.2 /r
subrgdv.3 Unit
subrgdv.4 /r
Assertion
Ref Expression
subrgdv SubRing

Proof of Theorem subrgdv
StepHypRef Expression
1 subrgdv.1 . . . . . 6 s
2 eqid 2443 . . . . . 6
3 subrgdv.3 . . . . . 6 Unit
4 eqid 2443 . . . . . 6
51, 2, 3, 4subrginv 17319 . . . . 5 SubRing
653adant2 1016 . . . 4 SubRing
76oveq2d 6297 . . 3 SubRing
8 eqid 2443 . . . . . 6
91, 8ressmulr 14627 . . . . 5 SubRing
1093ad2ant1 1018 . . . 4 SubRing
1110oveqd 6298 . . 3 SubRing
127, 11eqtrd 2484 . 2 SubRing
13 eqid 2443 . . . . . 6
1413subrgss 17304 . . . . 5 SubRing
15143ad2ant1 1018 . . . 4 SubRing
16 simp2 998 . . . 4 SubRing
1715, 16sseldd 3490 . . 3 SubRing
18 eqid 2443 . . . . . 6 Unit Unit
191, 18, 3subrguss 17318 . . . . 5 SubRing Unit
20193ad2ant1 1018 . . . 4 SubRing Unit
21 simp3 999 . . . 4 SubRing
2220, 21sseldd 3490 . . 3 SubRing Unit
23 subrgdv.2 . . . 4 /r
2413, 8, 18, 2, 23dvrval 17208 . . 3 Unit
2517, 22, 24syl2anc 661 . 2 SubRing
261subrgbas 17312 . . . . 5 SubRing
27263ad2ant1 1018 . . . 4 SubRing
2816, 27eleqtrd 2533 . . 3 SubRing
29 eqid 2443 . . . 4
30 eqid 2443 . . . 4
31 subrgdv.4 . . . 4 /r
3229, 30, 3, 4, 31dvrval 17208 . . 3
3328, 21, 32syl2anc 661 . 2 SubRing
3412, 25, 333eqtr4d 2494 1 SubRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wss 3461  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14509   ↾s cress 14510  cmulr 14575  Unitcui 17162  cinvr 17194  /rcdvr 17205  SubRingcsubrg 17299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-subg 16072  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-subrg 17301 This theorem is referenced by:  qsssubdrg  18351  redvr  18526  cvsdiv  21482  qrngdiv  23681
 Copyright terms: Public domain W3C validator