MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgcrng Structured version   Unicode version

Theorem subrgcrng 17631
Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgring.1  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgcrng  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  CRing
)

Proof of Theorem subrgcrng
StepHypRef Expression
1 subrgring.1 . . . 4  |-  S  =  ( Rs  A )
21subrgring 17630 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
32adantl 464 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  Ring )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
51, 4mgpress 17350 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  =  (mulGrp `  S ) )
64crngmgp 17404 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
76adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
8 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
98ringmgp 17402 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
103, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  S
)  e.  Mnd )
115, 10eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e.  Mnd )
12 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  A )  =  ( (mulGrp `  R )s  A
)
1312subcmn 17047 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( (mulGrp `  R )s  A )  e.  Mnd )  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e. CMnd )
147, 11, 13syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e. CMnd )
155, 14eqeltrrd 2543 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  S
)  e. CMnd )
168iscrng 17403 . 2  |-  ( S  e.  CRing 
<->  ( S  e.  Ring  /\  (mulGrp `  S )  e. CMnd ) )
173, 15, 16sylanbrc 662 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  CRing
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾s cress 14720   Mndcmnd 16121  CMndccmn 17000  mulGrpcmgp 17339   Ringcrg 17396   CRingccrg 17397  SubRingcsubrg 17623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-ring 17398  df-cring 17399  df-subrg 17625
This theorem is referenced by:  sraassa  18172  mplcrng  18313  evlsval2  18387  mpfind  18403  ply1crng  18435  evls1gsummul  18560  zringcrng  18688  refld  18831  gzcrng  28067
  Copyright terms: Public domain W3C validator