MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgcrng Structured version   Unicode version

Theorem subrgcrng 17301
Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgring.1  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgcrng  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  CRing
)

Proof of Theorem subrgcrng
StepHypRef Expression
1 subrgring.1 . . . 4  |-  S  =  ( Rs  A )
21subrgring 17300 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
32adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  Ring )
4 eqid 2441 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
51, 4mgpress 17020 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  =  (mulGrp `  S ) )
64crngmgp 17074 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
8 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
98ringmgp 17072 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
103, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  S
)  e.  Mnd )
115, 10eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e.  Mnd )
12 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  A )  =  ( (mulGrp `  R )s  A
)
1312subcmn 16714 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( (mulGrp `  R )s  A )  e.  Mnd )  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e. CMnd )
147, 11, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e. CMnd )
155, 14eqeltrrd 2530 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  S
)  e. CMnd )
168iscrng 17073 . 2  |-  ( S  e.  CRing 
<->  ( S  e.  Ring  /\  (mulGrp `  S )  e. CMnd ) )
173, 15, 16sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  CRing
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   ↾s cress 14505   Mndcmnd 15788  CMndccmn 16667  mulGrpcmgp 17009   Ringcrg 17066   CRingccrg 17067  SubRingcsubrg 17293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-cmn 16669  df-mgp 17010  df-ring 17068  df-cring 17069  df-subrg 17295
This theorem is referenced by:  sraassa  17842  mplcrng  17983  evlsval2  18057  mpfind  18073  ply1crng  18105  evls1gsummul  18230  zringcrng  18358  zncrng2OLD  18442  refld  18522  gzcrng  27695  mzpmfpOLD  30648
  Copyright terms: Public domain W3C validator