MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgcrng Structured version   Unicode version

Theorem subrgcrng 16993
Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgrng.1  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgcrng  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  CRing
)

Proof of Theorem subrgcrng
StepHypRef Expression
1 subrgrng.1 . . . 4  |-  S  =  ( Rs  A )
21subrgrng 16992 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
32adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  Ring )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
51, 4mgpress 16725 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  =  (mulGrp `  S ) )
64crngmgp 16777 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
8 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
98rngmgp 16775 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
103, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  S
)  e.  Mnd )
115, 10eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e.  Mnd )
12 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  A )  =  ( (mulGrp `  R )s  A
)
1312subcmn 16443 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( (mulGrp `  R )s  A )  e.  Mnd )  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e. CMnd )
147, 11, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( (mulGrp `  R )s  A )  e. CMnd )
155, 14eqeltrrd 2543 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  (mulGrp `  S
)  e. CMnd )
168iscrng 16776 . 2  |-  ( S  e.  CRing 
<->  ( S  e.  Ring  /\  (mulGrp `  S )  e. CMnd ) )
173, 15, 16sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  S  e.  CRing
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   ↾s cress 14294   Mndcmnd 15529  CMndccmn 16399  mulGrpcmgp 16714   Ringcrg 16769   CRingccrg 16770  SubRingcsubrg 16985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-cmn 16401  df-mgp 16715  df-rng 16771  df-cring 16772  df-subrg 16987
This theorem is referenced by:  sraassa  17520  mplcrng  17657  evlsval2  17731  mpfind  17747  ply1crng  17779  evls1gsummul  17886  zringcrng  18011  zncrng2OLD  18095  refld  18175  gzcrng  26453  mzpmfpOLD  29233
  Copyright terms: Public domain W3C validator