MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgbas Structured version   Unicode version

Theorem subrgbas 17551
Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgbas.b  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgbas  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)

Proof of Theorem subrgbas
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 17548 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
2 subrgbas.b . . 3  |-  S  =  ( Rs  A )
32subgbas 16322 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
41, 3syl 16 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   ↾s cress 14635  SubGrpcsubg 16312  SubRingcsubrg 17538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-nn 10453  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-subg 16315  df-ring 17313  df-subrg 17540
This theorem is referenced by:  subrg1  17552  subrgmcl  17554  subrgdvds  17556  subrguss  17557  subrginv  17558  subrgdv  17559  subrgunit  17560  issubdrg  17567  subsubrg  17568  abvres  17601  sraassa  18087  resspsrbas  18183  resspsradd  18184  resspsrmul  18185  resspsrvsca  18186  subrgpsr  18187  subrgascl  18276  subrgasclcl  18277  qsssubdrg  18590  gzrngunitlem  18595  gzrngunit  18596  dmatcrng  19089  scmatcrng  19108  scmatstrbas  19113  sranlm  21278  isclmi  21662  plypf1  22694
  Copyright terms: Public domain W3C validator