MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgbas Structured version   Unicode version

Theorem subrgbas 16879
Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgbas.b  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgbas  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)

Proof of Theorem subrgbas
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 16876 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
2 subrgbas.b . . 3  |-  S  =  ( Rs  A )
32subgbas 15690 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
41, 3syl 16 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   ↾s cress 14180  SubGrpcsubg 15680  SubRingcsubrg 16866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-nn 10328  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-subg 15683  df-rng 16652  df-subrg 16868
This theorem is referenced by:  subrg1  16880  subrgmcl  16882  subrgdvds  16884  subrguss  16885  subrginv  16886  subrgdv  16887  subrgunit  16888  issubdrg  16895  subsubrg  16896  abvres  16929  sraassa  17401  resspsrbas  17492  resspsradd  17493  resspsrmul  17494  resspsrvsca  17495  subrgpsr  17496  subrgascl  17585  subrgasclcl  17586  qsssubdrg  17877  gzrngunitlem  17882  gzrngunit  17883  zrngunit  17920  prmirredlemOLD  17925  prmirredOLD  17927  expghmOLD  17929  mulgghm2OLD  17933  mulgrhmOLD  17934  mulgrhm2OLD  17935  znlidlOLD  17973  sranlm  20270  isclmi  20654  plypf1  21685  reefgim  21920  dmatcrng  30886  scmatcrng  30893
  Copyright terms: Public domain W3C validator