MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgbas Structured version   Unicode version

Theorem subrgbas 17221
Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgbas.b  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgbas  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)

Proof of Theorem subrgbas
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 17218 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
2 subrgbas.b . . 3  |-  S  =  ( Rs  A )
32subgbas 16000 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
41, 3syl 16 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   ↾s cress 14487  SubGrpcsubg 15990  SubRingcsubrg 17208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-nn 10533  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-subg 15993  df-rng 16988  df-subrg 17210
This theorem is referenced by:  subrg1  17222  subrgmcl  17224  subrgdvds  17226  subrguss  17227  subrginv  17228  subrgdv  17229  subrgunit  17230  issubdrg  17237  subsubrg  17238  abvres  17271  sraassa  17745  resspsrbas  17841  resspsradd  17842  resspsrmul  17843  resspsrvsca  17844  subrgpsr  17845  subrgascl  17934  subrgasclcl  17935  qsssubdrg  18245  gzrngunitlem  18250  gzrngunit  18251  zrngunit  18288  prmirredlemOLD  18293  prmirredOLD  18295  expghmOLD  18297  mulgghm2OLD  18301  mulgrhmOLD  18302  mulgrhm2OLD  18303  znlidlOLD  18341  dmatcrng  18771  scmatcrng  18790  scmatstrbas  18795  sranlm  20928  isclmi  21312  plypf1  22344  reefgim  22579
  Copyright terms: Public domain W3C validator