Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Unicode version

Theorem subrgascl 18481
 Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p mPoly
subrgascl.a algSc
subrgascl.h s
subrgascl.u mPoly
subrgascl.i
subrgascl.r SubRing
subrgascl.c algSc
Assertion
Ref Expression
subrgascl

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4 algSc
2 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar
3 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar
41, 2, 3asclfn 18303 . . 3 Scalar
5 subrgascl.r . . . . . 6 SubRing
6 subrgascl.h . . . . . . 7 s
76subrgbas 17756 . . . . . 6 SubRing
85, 7syl 17 . . . . 5
9 subrgascl.u . . . . . . 7 mPoly
10 subrgascl.i . . . . . . 7
11 ovex 6305 . . . . . . . . 9 s
126, 11eqeltri 2486 . . . . . . . 8
1312a1i 11 . . . . . . 7
149, 10, 13mplsca 18425 . . . . . 6 Scalar
1514fveq2d 5852 . . . . 5 Scalar
168, 15eqtrd 2443 . . . 4 Scalar
1716fneq2d 5652 . . 3 Scalar
184, 17mpbiri 233 . 2
19 subrgascl.a . . . . 5 algSc
20 eqid 2402 . . . . 5 Scalar Scalar
21 eqid 2402 . . . . 5 Scalar Scalar
2219, 20, 21asclfn 18303 . . . 4 Scalar
23 subrgascl.p . . . . . . 7 mPoly
24 subrgrcl 17752 . . . . . . . 8 SubRing
255, 24syl 17 . . . . . . 7
2623, 10, 25mplsca 18425 . . . . . 6 Scalar
2726fveq2d 5852 . . . . 5 Scalar
2827fneq2d 5652 . . . 4 Scalar
2922, 28mpbiri 233 . . 3
30 eqid 2402 . . . . 5
3130subrgss 17748 . . . 4 SubRing
325, 31syl 17 . . 3
33 fnssres 5674 . . 3
3429, 32, 33syl2anc 659 . 2
35 fvres 5862 . . . 4
3635adantl 464 . . 3
37 eqid 2402 . . . . . . . . 9
386, 37subrg0 17754 . . . . . . . 8 SubRing
395, 38syl 17 . . . . . . 7
4039ifeq2d 3903 . . . . . 6
4140adantr 463 . . . . 5
4241mpteq2dv 4481 . . . 4
43 eqid 2402 . . . . 5
4410adantr 463 . . . . 5
4525adantr 463 . . . . 5
4632sselda 3441 . . . . 5
4723, 43, 37, 30, 19, 44, 45, 46mplascl 18479 . . . 4
48 eqid 2402 . . . . 5
49 eqid 2402 . . . . 5
506subrgring 17750 . . . . . . 7 SubRing
515, 50syl 17 . . . . . 6
5251adantr 463 . . . . 5
538eleq2d 2472 . . . . . 6
5453biimpa 482 . . . . 5
559, 43, 48, 49, 1, 44, 52, 54mplascl 18479 . . . 4
5642, 47, 553eqtr4d 2453 . . 3
5736, 56eqtr2d 2444 . 2
5818, 34, 57eqfnfvd 5961 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  crab 2757  cvv 3058   wss 3413  cif 3884  csn 3971   cmpt 4452   cxp 4820  ccnv 4821   cres 4824  cima 4825   wfn 5563  cfv 5568  (class class class)co 6277   cmap 7456  cfn 7553  cc0 9521  cn 10575  cn0 10835  cbs 14839   ↾s cress 14840  Scalarcsca 14910  c0g 15052  crg 17516  SubRingcsubrg 17743  algSccascl 18278   mPoly cmpl 18320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-ascl 18281  df-psr 18323  df-mpl 18325 This theorem is referenced by:  subrgasclcl  18482  subrg1ascl  18618
 Copyright terms: Public domain W3C validator