MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Unicode version

Theorem subrgascl 18481
Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
subrgascl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
subrgascl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgascl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
subrgascl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgascl.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgascl.c  |-  C  =  (algSc `  U )
Assertion
Ref Expression
subrgascl  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  |`  T ) )

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4  |-  C  =  (algSc `  U )
2 eqid 2402 . . . 4  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
41, 2, 3asclfn 18303 . . 3  |-  C  Fn  ( Base `  (Scalar `  U
) )
5 subrgascl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
6 subrgascl.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
76subrgbas 17756 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
85, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
9 subrgascl.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( I mPoly  H )
10 subrgascl.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 ovex 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( Rs  T )  e.  _V
126, 11eqeltri 2486 . . . . . . . 8  |-  H  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
149, 10, 13mplsca 18425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  =  (Scalar `  U ) )
1514fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
168, 15eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
1716fneq2d 5652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  Fn  T  <->  C  Fn  ( Base `  (Scalar `  U ) ) ) )
184, 17mpbiri 233 . 2  |-  ( ph  ->  C  Fn  T )
19 subrgascl.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  P )
20 eqid 2402 . . . . 5  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
21 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
2219, 20, 21asclfn 18303 . . . 4  |-  A  Fn  ( Base `  (Scalar `  P
) )
23 subrgascl.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( I mPoly  R )
24 subrgrcl 17752 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
255, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2623, 10, 25mplsca 18425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
2726fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
2827fneq2d 5652 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  Fn  ( Base `  R )  <->  A  Fn  ( Base `  (Scalar `  P
) ) ) )
2922, 28mpbiri 233 . . 3  |-  ( ph  ->  A  Fn  ( Base `  R ) )
30 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3130subrgss 17748 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
325, 31syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
33 fnssres 5674 . . 3  |-  ( ( A  Fn  ( Base `  R )  /\  T  C_  ( Base `  R
) )  ->  ( A  |`  T )  Fn  T )
3429, 32, 33syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  |`  T )  Fn  T )
35 fvres 5862 . . . 4  |-  ( x  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
3635adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  (
( A  |`  T ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
37 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
386, 37subrg0 17754 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  H ) )
395, 38syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  H ) )
4039ifeq2d 3903 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  x ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  H ) ) )
4140adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  x ,  ( 0g
`  H ) ) )
4241mpteq2dv 4481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  H
) ) ) )
43 eqid 2402 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4410adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  I  e.  W )
4525adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  R  e.  Ring )
4632sselda 3441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
4723, 43, 37, 30, 19, 44, 45, 46mplascl 18479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( A `  x )  =  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R
) ) ) )
48 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
49 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
506subrgring 17750 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  H  e.  Ring )
515, 50syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Ring )
5251adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  H  e.  Ring )
538eleq2d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  <->  x  e.  ( Base `  H
) ) )
5453biimpa 482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Base `  H
) )
559, 43, 48, 49, 1, 44, 52, 54mplascl 18479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( C `  x )  =  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  H
) ) ) )
5642, 47, 553eqtr4d 2453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( A `  x )  =  ( C `  x ) )
5736, 56eqtr2d 2444 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( C `  x )  =  ( ( A  |`  T ) `  x
) )
5818, 34, 57eqfnfvd 5961 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  |`  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   ifcif 3884   {csn 3971    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   `'ccnv 4821    |` cres 4824   "cima 4825    Fn wfn 5563   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   Fincfn 7553   0cc0 9521   NNcn 10575   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   ↾s cress 14840  Scalarcsca 14910   0gc0g 15052   Ringcrg 17516  SubRingcsubrg 17743  algSccascl 18278   mPoly cmpl 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-ascl 18281  df-psr 18323  df-mpl 18325
This theorem is referenced by:  subrgasclcl  18482  subrg1ascl  18618
  Copyright terms: Public domain W3C validator