MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Unicode version

Theorem subrgascl 17714
Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
subrgascl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
subrgascl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgascl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
subrgascl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgascl.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgascl.c  |-  C  =  (algSc `  U )
Assertion
Ref Expression
subrgascl  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  |`  T ) )

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4  |-  C  =  (algSc `  U )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
41, 2, 3asclfn 17540 . . 3  |-  C  Fn  ( Base `  (Scalar `  U
) )
5 subrgascl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
6 subrgascl.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
76subrgbas 17007 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
9 subrgascl.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( I mPoly  H )
10 subrgascl.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 ovex 6228 . . . . . . . . 9  |-  ( Rs  T )  e.  _V
126, 11eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  H  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
149, 10, 13mplsca 17658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  =  (Scalar `  U ) )
1514fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
168, 15eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
1716fneq2d 5613 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  Fn  T  <->  C  Fn  ( Base `  (Scalar `  U ) ) ) )
184, 17mpbiri 233 . 2  |-  ( ph  ->  C  Fn  T )
19 subrgascl.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  P )
20 eqid 2454 . . . . 5  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
21 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
2219, 20, 21asclfn 17540 . . . 4  |-  A  Fn  ( Base `  (Scalar `  P
) )
23 subrgascl.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( I mPoly  R )
24 subrgrcl 17003 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
255, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2623, 10, 25mplsca 17658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
2726fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
2827fneq2d 5613 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  Fn  ( Base `  R )  <->  A  Fn  ( Base `  (Scalar `  P
) ) ) )
2922, 28mpbiri 233 . . 3  |-  ( ph  ->  A  Fn  ( Base `  R ) )
30 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3130subrgss 16999 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
325, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
33 fnssres 5635 . . 3  |-  ( ( A  Fn  ( Base `  R )  /\  T  C_  ( Base `  R
) )  ->  ( A  |`  T )  Fn  T )
3429, 32, 33syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  |`  T )  Fn  T )
35 fvres 5816 . . . 4  |-  ( x  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
3635adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  (
( A  |`  T ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
37 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
386, 37subrg0 17005 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  H ) )
395, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  H ) )
4039ifeq2d 3919 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  x ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  H ) ) )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  x ,  ( 0g
`  H ) ) )
4241mpteq2dv 4490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  H
) ) ) )
43 eqid 2454 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4410adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  I  e.  W )
4525adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  R  e.  Ring )
4632sselda 3467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
4723, 43, 37, 30, 19, 44, 45, 46mplascl 17712 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( A `  x )  =  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  R
) ) ) )
48 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
49 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
506subrgrng 17001 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  H  e.  Ring )
515, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Ring )
5251adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  H  e.  Ring )
538eleq2d 2524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  <->  x  e.  ( Base `  H
) ) )
5453biimpa 484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Base `  H
) )
559, 43, 48, 49, 1, 44, 52, 54mplascl 17712 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( C `  x )  =  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  x ,  ( 0g `  H
) ) ) )
5642, 47, 553eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( A `  x )  =  ( C `  x ) )
5736, 56eqtr2d 2496 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( C `  x )  =  ( ( A  |`  T ) `  x
) )
5818, 34, 57eqfnfvd 5912 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  |`  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   ifcif 3902   {csn 3988    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   `'ccnv 4950    |` cres 4953   "cima 4954    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   0cc0 9397   NNcn 10437   NN0cn0 10694   Basecbs 14296   ↾s cress 14297  Scalarcsca 14364   0gc0g 14501   Ringcrg 16778  SubRingcsubrg 16994  algSccascl 17516   mPoly cmpl 17553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-tset 14380  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-subrg 16996  df-ascl 17519  df-psr 17556  df-mpl 17558
This theorem is referenced by:  subrgasclcl  17715  subrg1ascl  17846
  Copyright terms: Public domain W3C validator