Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subrgacs Structured version   Unicode version

Theorem subrgacs 31393
Description: Closure property of subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgacs  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubRing `  R
)  e.  (ACS `  B ) )

Proof of Theorem subrgacs
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21issubrg3 17655 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( x  e.  (SubGrp `  R )  /\  x  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) ) ) )
3 elin 3673 . . . 4  |-  ( x  e.  ( (SubGrp `  R )  i^i  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )  <->  ( x  e.  (SubGrp `  R )  /\  x  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) ) )
42, 3syl6bbr 263 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  R
)  <->  x  e.  (
(SubGrp `  R )  i^i  (SubMnd `  (mulGrp `  R
) ) ) ) )
54eqrdv 2451 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubRing `  R
)  =  ( (SubGrp `  R )  i^i  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) ) )
6 subrgacs.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
86, 7eqeltri 2538 . . . 4  |-  B  e. 
_V
9 mreacs 15150 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
108, 9mp1i 12 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
11 ringgrp 17401 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
126subgacs 16438 . . . 4  |-  ( R  e.  Grp  ->  (SubGrp `  R )  e.  (ACS
`  B ) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubGrp `  R )  e.  (ACS
`  B ) )
141ringmgp 17402 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
151, 6mgpbas 17345 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
1615submacs 16198 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  (mulGrp `  R
) )  e.  (ACS
`  B ) )
1714, 16syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubMnd `  (mulGrp `  R ) )  e.  (ACS `  B
) )
18 mreincl 15091 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubGrp `  R
)  e.  (ACS `  B )  /\  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
)  e.  (ACS `  B ) )  -> 
( (SubGrp `  R
)  i^i  (SubMnd `  (mulGrp `  R ) ) )  e.  (ACS `  B
) )
1910, 13, 17, 18syl3anc 1226 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (SubGrp `  R )  i^i  (SubMnd `  (mulGrp `  R )
) )  e.  (ACS
`  B ) )
205, 19eqeltrd 2542 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubRing `  R
)  e.  (ACS `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    i^i cin 3460   ~Pcpw 3999   ` cfv 5570   Basecbs 14719  Moorecmre 15074  ACScacs 15077   Mndcmnd 16121  SubMndcsubmnd 16167   Grpcgrp 16255  SubGrpcsubg 16397  mulGrpcmgp 17339   Ringcrg 17396  SubRingcsubrg 17623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-0g 14934  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-subg 16400  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-subrg 17625
This theorem is referenced by:  sdrgacs  31394
  Copyright terms: Public domain W3C validator