Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suborng Structured version   Unicode version

Theorem suborng 27630
 Description: Every subring of an ordered ring is also an ordered ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
suborng oRing s s oRing

Proof of Theorem suborng
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3 oRing s s
2 ringgrp 17075 . . . . . 6 s s
31, 2syl 16 . . . . 5 oRing s s
4 orngogrp 27616 . . . . . . . 8 oRing oGrp
5 isogrp 27516 . . . . . . . . 9 oGrp oMnd
65simprbi 464 . . . . . . . 8 oGrp oMnd
74, 6syl 16 . . . . . . 7 oRing oMnd
8 ringmnd 17079 . . . . . . 7 s s
97, 8anim12i 566 . . . . . 6 oRing s oMnd s
10 submomnd 27524 . . . . . 6 oMnd s s oMnd
119, 10syl 16 . . . . 5 oRing s s oMnd
123, 11jca 532 . . . 4 oRing s s s oMnd
13 isogrp 27516 . . . 4 s oGrp s s oMnd
1412, 13sylibr 212 . . 3 oRing s s oGrp
15 simp-4l 765 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s oRing
16 reldmress 14558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s
1716ovprc2 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s
1817fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15 s
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 oRing s s
20 base0 14546 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13 oRing s s
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s s
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s s
2422, 23ringidcl 17091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s s
25 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s s
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 s s
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 oRing s s
2827neneqd 2669 . . . . . . . . . . . . 13 oRing s s
2921, 28condan 792 . . . . . . . . . . . 12 oRing s
30 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 s s
31 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31ressbas 14562 . . . . . . . . . . . . 13 s
33 inss2 3724 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33syl6eqssr 3560 . . . . . . . . . . . 12 s
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11 oRing s s
3635ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s s s s s
37 simpllr 758 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s s s s s
3836, 37sseldd 3510 . . . . . . . . 9 oRing s s s s s s s
39 simprl 755 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s s s s s s
40 orngring 27615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 oRing
41 ringgrp 17075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 oRing
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 oRing s
4431ressinbas 14568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s s
4532oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s s s
4644, 45eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s s s
4729, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 oRing s s s s
4847, 3eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 oRing s s s
4943, 35, 483jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oRing s s s s
5031issubg 16073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s SubGrp s s s
5149, 50sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15 oRing s s SubGrp
52 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s s s
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5452, 53subg0 16079 . . . . . . . . . . . . . . 15 s SubGrp s s
5551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 oRing s s s
5647fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14 oRing s s s s
5755, 56eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13 oRing s s
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 oRing s s s s
5929ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 oRing s s s
60 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
6130, 60ressle 14672 . . . . . . . . . . . . 13 s
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . 12 oRing s s s s
63 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12 oRing s s s
6458, 62, 63breq123d 4467 . . . . . . . . . . 11 oRing s s s s s
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s s s s s s
6639, 65mpbird 232 . . . . . . . . 9 oRing s s s s s s s
6738, 66jca 532 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s
68 simplr 754 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s s s s s
6936, 68sseldd 3510 . . . . . . . . 9 oRing s s s s s s s
70 simprr 756 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s s s s s s
71 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12 oRing s s s
7258, 62, 71breq123d 4467 . . . . . . . . . . 11 oRing s s s s s
7372adantr 465 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s s s s s s
7470, 73mpbird 232 . . . . . . . . 9 oRing s s s s s s s
7569, 74jca 532 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s
76 eqid 2467 . . . . . . . . 9
7731, 60, 53, 76orngmul 27618 . . . . . . . 8 oRing
7815, 67, 75, 77syl3anc 1228 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s
7958adantr 465 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s
8062adantr 465 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s
8159adantr 465 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s s s s
8230, 76ressmulr 14625 . . . . . . . . . 10 s
8381, 82syl 16 . . . . . . . . 9 oRing s s s s s s s s
8483oveqd 6312 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s
8579, 80, 84breq123d 4467 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s s s s
8678, 85mpbid 210 . . . . . 6 oRing s s s s s s s s s s
8786ex 434 . . . . 5 oRing s s s s s s s s s s
8887anasss 647 . . . 4 oRing s s s s s s s s s s
8988ralrimivva 2888 . . 3 oRing s s s s s s s s s s
901, 14, 893jca 1176 . 2 oRing s s s oGrp s s s s s s s s s
91 eqid 2467 . . 3 s s
92 eqid 2467 . . 3 s s
93 eqid 2467 . . 3 s s
9422, 91, 92, 93isorng 27614 . 2 s oRing s s oGrp s s s s s s s s s
9590, 94sylibr 212 1 oRing s s oRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  cvv 3118   cin 3480   wss 3481  c0 3790   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507   ↾s cress 14508  cmulr 14573  cple 14579  c0g 14712  cmnd 15793  cgrp 15925  SubGrpcsubg 16067  cur 17025  crg 17070  oMndcomnd 27511  oGrpcogrp 27512  oRingcorng 27610 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-ple 14592  df-0g 14714  df-poset 15450  df-toset 15538  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-subg 16070  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-omnd 27513  df-ogrp 27514  df-orng 27612 This theorem is referenced by:  subofld  27631
 Copyright terms: Public domain W3C validator