Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suborng Structured version   Unicode version

Theorem suborng 27630
Description: Every subring of an ordered ring is also an ordered ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
suborng  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e. oRing )

Proof of Theorem suborng
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e.  Ring )
2 ringgrp 17075 . . . . . 6  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( Rs  A )  e.  Grp )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e.  Grp )
4 orngogrp 27616 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. oRing  ->  R  e. oGrp )
5 isogrp 27516 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. oGrp 
<->  ( R  e.  Grp  /\  R  e. oMnd ) )
65simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. oGrp  ->  R  e. oMnd )
74, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e. oRing  ->  R  e. oMnd )
8 ringmnd 17079 . . . . . . 7  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( Rs  A )  e.  Mnd )
97, 8anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( R  e. oMnd  /\  ( Rs  A )  e.  Mnd ) )
10 submomnd 27524 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. oMnd  /\  ( Rs  A )  e.  Mnd )  ->  ( Rs  A )  e. oMnd )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e. oMnd )
123, 11jca 532 . . . 4  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( ( Rs  A )  e.  Grp  /\  ( Rs  A )  e. oMnd )
)
13 isogrp 27516 . . . 4  |-  ( ( Rs  A )  e. oGrp  <->  ( ( Rs  A )  e.  Grp  /\  ( Rs  A )  e. oMnd )
)
1412, 13sylibr 212 . . 3  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e. oGrp )
15 simp-4l 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  R  e. oRing )
16 reldmress 14558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Rel  doms
1716ovprc2 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Rs  A )  =  (/) )
1817fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  ( Rs  A
) )  =  (
Base `  (/) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  (/) ) )
20 base0 14546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
2119, 20syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  (/) )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  ( Rs  A ) )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1r
`  ( Rs  A ) )  =  ( 1r
`  ( Rs  A ) )
2422, 23ringidcl 17091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( 1r `  ( Rs  A ) )  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
25 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1r `  ( Rs  A ) )  e.  (
Base `  ( Rs  A
) )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( Base `  ( Rs  A
) )  =/=  (/) )
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  =/=  (/) )
2827neneqd 2669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  -.  ( Base `  ( Rs  A
) )  =  (/) )
2921, 28condan 792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  A  e.  _V )
30 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
31 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3230, 31ressbas 14562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  R
) )  =  (
Base `  ( Rs  A
) ) )
33 inss2 3724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( Base `  R
) )  C_  ( Base `  R )
3432, 33syl6eqssr 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )
)
3635ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )
)
37 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  a  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
3836, 37sseldd 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  a  e.  ( Base `  R )
)
39 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a )
40 orngring 27615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e. oRing  ->  R  e.  Ring )
41 ringgrp 17075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e. oRing  ->  R  e.  Grp )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  R  e.  Grp )
4431ressinbas 14568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Rs  A )  =  ( Rs  ( A  i^i  ( Base `  R ) ) ) )
4532oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Rs  ( A  i^i  ( Base `  R ) ) )  =  ( Rs  (
Base `  ( Rs  A
) ) ) )
4644, 45eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Rs  A )  =  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) ) )
4729, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  =  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) ) )
4847, 3eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  e.  Grp )
4943, 35, 483jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( R  e. 
Grp  /\  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )  /\  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  e.  Grp ) )
5031issubg 16073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
Base `  ( Rs  A
) )  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( R  e.  Grp  /\  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )  /\  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  e.  Grp ) )
5149, 50sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  e.  (SubGrp `  R )
)
52 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rs  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  =  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5452, 53subg0 16079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
Base `  ( Rs  A
) )  e.  (SubGrp `  R )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A
) ) ) ) )
5551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  (
Base `  ( Rs  A
) ) ) ) )
5647fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) )  =  ( 0g `  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A
) ) ) ) )
5755, 56eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  A ) ) )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  A ) ) )
5929ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  A  e.  _V )
60 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  R
)
6130, 60ressle 14672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  R )  =  ( le `  ( Rs  A ) ) )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( le `  R )  =  ( le `  ( Rs  A ) ) )
63 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  a  =  a )
6458, 62, 63breq123d 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( le `  R ) a  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g `  R ) ( le `  R ) a  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a ) )
6639, 65mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  R ) ( le
`  R ) a )
6738, 66jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( a  e.  ( Base `  R
)  /\  ( 0g `  R ) ( le
`  R ) a ) )
68 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  b  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
6936, 68sseldd 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  b  e.  ( Base `  R )
)
70 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b )
71 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  b  =  b )
7258, 62, 71breq123d 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( le `  R ) b  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g `  R ) ( le `  R ) b  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )
7470, 73mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  R ) ( le
`  R ) b )
7569, 74jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( b  e.  ( Base `  R
)  /\  ( 0g `  R ) ( le
`  R ) b ) )
76 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7731, 60, 53, 76orngmul 27618 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. oRing  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R ) ( le `  R ) a )  /\  (
b  e.  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R ) ( le `  R ) b ) )  -> 
( 0g `  R
) ( le `  R ) ( a ( .r `  R
) b ) )
7815, 67, 75, 77syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  R ) ( le
`  R ) ( a ( .r `  R ) b ) )
7958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  A ) ) )
8062adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( le `  R )  =  ( le `  ( Rs  A ) ) )
8159adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  A  e.  _V )
8230, 76ressmulr 14625 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
8483oveqd 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( a
( .r `  R
) b )  =  ( a ( .r
`  ( Rs  A ) ) b ) )
8579, 80, 84breq123d 4467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g `  R ) ( le `  R ) ( a ( .r
`  R ) b )  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) )
8678, 85mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) )
8786ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( ( ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) )
8887anasss 647 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) ) )  ->  ( (
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) )
8988ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  A. a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) A. b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) ( ( ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) )
901, 14, 893jca 1176 . 2  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( ( Rs  A )  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e. oGrp  /\  A. a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) A. b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) ( ( ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) ) )
91 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  ( Rs  A ) )  =  ( 0g
`  ( Rs  A ) )
92 eqid 2467 . . 3  |-  ( .r
`  ( Rs  A ) )  =  ( .r
`  ( Rs  A ) )
93 eqid 2467 . . 3  |-  ( le
`  ( Rs  A ) )  =  ( le
`  ( Rs  A ) )
9422, 91, 92, 93isorng 27614 . 2  |-  ( ( Rs  A )  e. oRing  <->  ( ( Rs  A )  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e. oGrp  /\  A. a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) A. b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) ( ( ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) ) )
9590, 94sylibr 212 1  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e. oRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   .rcmulr 14573   lecple 14579   0gc0g 14712   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15925  SubGrpcsubg 16067   1rcur 17025   Ringcrg 17070  oMndcomnd 27511  oGrpcogrp 27512  oRingcorng 27610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-ple 14592  df-0g 14714  df-poset 15450  df-toset 15538  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-subg 16070  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-omnd 27513  df-ogrp 27514  df-orng 27612
This theorem is referenced by:  subofld  27631
  Copyright terms: Public domain W3C validator