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Theorem suborng 28139
Description: Every subring of an ordered ring is also an ordered ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
suborng  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e. oRing )

Proof of Theorem suborng
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . 2  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e.  Ring )
2 ringgrp 17413 . . . 4  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( Rs  A )  e.  Grp )
32adantl 464 . . 3  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e.  Grp )
4 orngogrp 28125 . . . . 5  |-  ( R  e. oRing  ->  R  e. oGrp )
5 isogrp 28025 . . . . . 6  |-  ( R  e. oGrp 
<->  ( R  e.  Grp  /\  R  e. oMnd ) )
65simprbi 462 . . . . 5  |-  ( R  e. oGrp  ->  R  e. oMnd )
74, 6syl 17 . . . 4  |-  ( R  e. oRing  ->  R  e. oMnd )
8 ringmnd 17417 . . . 4  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( Rs  A )  e.  Mnd )
9 submomnd 28033 . . . 4  |-  ( ( R  e. oMnd  /\  ( Rs  A )  e.  Mnd )  ->  ( Rs  A )  e. oMnd )
107, 8, 9syl2an 475 . . 3  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e. oMnd )
11 isogrp 28025 . . 3  |-  ( ( Rs  A )  e. oGrp  <->  ( ( Rs  A )  e.  Grp  /\  ( Rs  A )  e. oMnd )
)
123, 10, 11sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e. oGrp )
13 simp-4l 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  R  e. oRing )
14 reldmress 14784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  doms
1514ovprc2 6264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Rs  A )  =  (/) )
1615fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  ( Rs  A
) )  =  (
Base `  (/) ) )
1716adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  (/) ) )
18 base0 14772 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
1917, 18syl6eqr 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  (/) )
20 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  ( Rs  A ) )
21 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1r
`  ( Rs  A ) )  =  ( 1r
`  ( Rs  A ) )
2220, 21ringidcl 17429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( 1r `  ( Rs  A ) )  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
23 ne0i 3741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1r `  ( Rs  A ) )  e.  (
Base `  ( Rs  A
) )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  =/=  (/) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
( Base `  ( Rs  A
) )  =/=  (/) )
2524ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  =/=  (/) )
2625neneqd 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  -.  ( Base `  ( Rs  A
) )  =  (/) )
2719, 26condan 793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  A  e.  _V )
28 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
29 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3028, 29ressbas 14788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  R
) )  =  (
Base `  ( Rs  A
) ) )
31 inss2 3657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( Base `  R
) )  C_  ( Base `  R )
3230, 31syl6eqssr 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R ) )
3327, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )
)
3433ad3antrrr 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )
)
35 simpllr 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  a  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
3634, 35sseldd 3440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  a  e.  ( Base `  R )
)
37 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a )
38 orngring 28124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e. oRing  ->  R  e.  Ring )
39 ringgrp 17413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. oRing  ->  R  e.  Grp )
4140adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  R  e.  Grp )
4229ressinbas 14794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Rs  A )  =  ( Rs  ( A  i^i  ( Base `  R ) ) ) )
4330oveq2d 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Rs  ( A  i^i  ( Base `  R ) ) )  =  ( Rs  (
Base `  ( Rs  A
) ) ) )
4442, 43eqtrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Rs  A )  =  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) ) )
4527, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  =  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) ) )
4645, 3eqeltrrd 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  e.  Grp )
4729issubg 16415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
Base `  ( Rs  A
) )  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( R  e.  Grp  /\  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )  /\  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  e.  Grp ) )
4841, 33, 46, 47syl3anbrc 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  e.  (SubGrp `  R )
)
49 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Rs  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  =  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
50 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5149, 50subg0 16421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Base `  ( Rs  A
) )  e.  (SubGrp `  R )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A
) ) ) ) )
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  (
Base `  ( Rs  A
) ) ) ) )
5345fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) )  =  ( 0g `  ( Rs  ( Base `  ( Rs  A
) ) ) ) )
5452, 53eqtr4d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  A ) ) )
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  A ) ) )
5627ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  A  e.  _V )
57 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  R
)
5828, 57ressle 14903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  R )  =  ( le `  ( Rs  A ) ) )
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( le `  R )  =  ( le `  ( Rs  A ) ) )
60 eqidd 2401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  a  =  a )
6155, 59, 60breq123d 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( le `  R ) a  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a ) )
6261adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g `  R ) ( le `  R ) a  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a ) )
6337, 62mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  R ) ( le
`  R ) a )
64 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  b  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
6534, 64sseldd 3440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  b  e.  ( Base `  R )
)
66 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b )
67 eqidd 2401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  b  =  b )
6855, 59, 67breq123d 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( le `  R ) b  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )
6968adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g `  R ) ( le `  R ) b  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )
7066, 69mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  R ) ( le
`  R ) b )
71 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7229, 57, 50, 71orngmul 28127 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. oRing  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R ) ( le `  R ) a )  /\  (
b  e.  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R ) ( le `  R ) b ) )  -> 
( 0g `  R
) ( le `  R ) ( a ( .r `  R
) b ) )
7313, 36, 63, 65, 70, 72syl122anc 1237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  R ) ( le
`  R ) ( a ( .r `  R ) b ) )
7455adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  ( Rs  A ) ) )
7559adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( le `  R )  =  ( le `  ( Rs  A ) ) )
7656adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  A  e.  _V )
7728, 71ressmulr 14856 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
7978oveqd 6249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( a
( .r `  R
) b )  =  ( a ( .r
`  ( Rs  A ) ) b ) )
8074, 75, 79breq123d 4406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g `  R ) ( le `  R ) ( a ( .r
`  R ) b )  <->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) )
8173, 80mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )  /\  a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  /\  ( ( 0g
`  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) )
8281ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( ( ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) b )  ->  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) )
8382anasss 645 . . 3  |-  ( ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) ) )  ->  ( (
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) )
8483ralrimivva 2822 . 2  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  A. a  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) A. b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) ( ( ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) )
85 eqid 2400 . . 3  |-  ( 0g
`  ( Rs  A ) )  =  ( 0g
`  ( Rs  A ) )
86 eqid 2400 . . 3  |-  ( .r
`  ( Rs  A ) )  =  ( .r
`  ( Rs  A ) )
87 eqid 2400 . . 3  |-  ( le
`  ( Rs  A ) )  =  ( le
`  ( Rs  A ) )
8820, 85, 86, 87isorng 28123 . 2  |-  ( ( Rs  A )  e. oRing  <->  ( ( Rs  A )  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e. oGrp  /\  A. a  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) A. b  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) ( ( ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le
`  ( Rs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Rs  A ) ) ( le `  ( Rs  A ) ) ( a ( .r `  ( Rs  A ) ) b ) ) ) )
891, 12, 84, 88syl3anbrc 1179 1  |-  ( ( R  e. oRing  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  ->  ( Rs  A )  e. oRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   _Vcvv 3056    i^i cin 3410    C_ wss 3411   (/)c0 3735   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   ↾s cress 14732   .rcmulr 14800   lecple 14806   0gc0g 14944   Mndcmnd 16133   Grpcgrp 16267  SubGrpcsubg 16409   1rcur 17363   Ringcrg 17408  oMndcomnd 28020  oGrpcogrp 28021  oRingcorng 28119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-ple 14819  df-0g 14946  df-poset 15789  df-toset 15878  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-subg 16412  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-omnd 28022  df-ogrp 28023  df-orng 28121
This theorem is referenced by:  subofld  28140
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