Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suborng Structured version   Unicode version

Theorem suborng 28139
 Description: Every subring of an ordered ring is also an ordered ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
suborng oRing s s oRing

Proof of Theorem suborng
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . 2 oRing s s
2 ringgrp 17413 . . . 4 s s
32adantl 464 . . 3 oRing s s
4 orngogrp 28125 . . . . 5 oRing oGrp
5 isogrp 28025 . . . . . 6 oGrp oMnd
65simprbi 462 . . . . 5 oGrp oMnd
74, 6syl 17 . . . 4 oRing oMnd
8 ringmnd 17417 . . . 4 s s
9 submomnd 28033 . . . 4 oMnd s s oMnd
107, 8, 9syl2an 475 . . 3 oRing s s oMnd
11 isogrp 28025 . . 3 s oGrp s s oMnd
123, 10, 11sylanbrc 662 . 2 oRing s s oGrp
13 simp-4l 766 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s oRing
14 reldmress 14784 . . . . . . . . . . . . . . 15 s
1514ovprc2 6264 . . . . . . . . . . . . . 14 s
1615fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . 13 s
1716adantl 464 . . . . . . . . . . . 12 oRing s s
18 base0 14772 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18syl6eqr 2459 . . . . . . . . . . 11 oRing s s
20 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . . 15 s s
21 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . . 15 s s
2220, 21ringidcl 17429 . . . . . . . . . . . . . 14 s s s
23 ne0i 3741 . . . . . . . . . . . . . 14 s s s
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 s s
2524ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 oRing s s
2625neneqd 2603 . . . . . . . . . . 11 oRing s s
2719, 26condan 793 . . . . . . . . . 10 oRing s
28 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12 s s
29 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29ressbas 14788 . . . . . . . . . . 11 s
31 inss2 3657 . . . . . . . . . . 11
3230, 31syl6eqssr 3490 . . . . . . . . . 10 s
3327, 32syl 17 . . . . . . . . 9 oRing s s
3433ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s
35 simpllr 759 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s
3634, 35sseldd 3440 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s
37 simprl 755 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s s
38 orngring 28124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oRing
39 ringgrp 17413 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 oRing
4140adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 oRing s
4229ressinbas 14794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s s
4330oveq2d 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s s s
4442, 43eqtrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s s
4527, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 oRing s s s s
4645, 3eqeltrrd 2489 . . . . . . . . . . . . . 14 oRing s s s
4729issubg 16415 . . . . . . . . . . . . . 14 s SubGrp s s s
4841, 33, 46, 47syl3anbrc 1179 . . . . . . . . . . . . 13 oRing s s SubGrp
49 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . 14 s s s s
50 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 50subg0 16421 . . . . . . . . . . . . 13 s SubGrp s s
5248, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 oRing s s s
5345fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . 12 oRing s s s s
5452, 53eqtr4d 2444 . . . . . . . . . . 11 oRing s s
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s
5627ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 oRing s s s
57 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12
5828, 57ressle 14903 . . . . . . . . . . 11 s
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 oRing s s s s
60 eqidd 2401 . . . . . . . . . 10 oRing s s s
6155, 59, 60breq123d 4406 . . . . . . . . 9 oRing s s s s s
6261adantr 463 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s s
6337, 62mpbird 232 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s
64 simplr 754 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s
6534, 64sseldd 3440 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s
66 simprr 756 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s s
67 eqidd 2401 . . . . . . . . . 10 oRing s s s
6855, 59, 67breq123d 4406 . . . . . . . . 9 oRing s s s s s
6968adantr 463 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s s
7066, 69mpbird 232 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s
71 eqid 2400 . . . . . . . 8
7229, 57, 50, 71orngmul 28127 . . . . . . 7 oRing
7313, 36, 63, 65, 70, 72syl122anc 1237 . . . . . 6 oRing s s s s s s s
7455adantr 463 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s s
7559adantr 463 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s s
7656adantr 463 . . . . . . . . 9 oRing s s s s s s s
7728, 71ressmulr 14856 . . . . . . . . 9 s
7876, 77syl 17 . . . . . . . 8 oRing s s s s s s s s
7978oveqd 6249 . . . . . . 7 oRing s s s s s s s s
8074, 75, 79breq123d 4406 . . . . . 6 oRing s s s s s s s s s s
8173, 80mpbid 210 . . . . 5 oRing s s s s s s s s s s
8281ex 432 . . . 4 oRing s s s s s s s s s s
8382anasss 645 . . 3 oRing s s s s s s s s s s
8483ralrimivva 2822 . 2 oRing s s s s s s s s s s
85 eqid 2400 . . 3 s s
86 eqid 2400 . . 3 s s
87 eqid 2400 . . 3 s s
8820, 85, 86, 87isorng 28123 . 2 s oRing s s oGrp s s s s s s s s s
891, 12, 84, 88syl3anbrc 1179 1 oRing s s oRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wral 2751  cvv 3056   cin 3410   wss 3411  c0 3735   class class class wbr 4392  cfv 5523  (class class class)co 6232  cbs 14731   ↾s cress 14732  cmulr 14800  cple 14806  c0g 14944  cmnd 16133  cgrp 16267  SubGrpcsubg 16409  cur 17363  crg 17408  oMndcomnd 28020  oGrpcogrp 28021  oRingcorng 28119 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-ple 14819  df-0g 14946  df-poset 15789  df-toset 15878  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-subg 16412  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-omnd 28022  df-ogrp 28023  df-orng 28121 This theorem is referenced by:  subofld  28140
 Copyright terms: Public domain W3C validator