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Theorem subofld 24198
Description: Every subfield of an ordered field is also an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
subofld  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e. oField )

Proof of Theorem subofld
Dummy variables  a 
b  c  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . 2  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e. Field )
2 ofldtos 24190 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Toset )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  F  e. Toset )
4 reldmress 13470 . . . . . . . 8  |-  Rel  doms
54ovprc2 6069 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Fs  A )  =  (/) )
65fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  ( Fs  A
) )  =  (
Base `  (/) ) )
76adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  ( Base `  (/) ) )
8 base0 13461 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
97, 8syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  (/) )
10 isfld 15799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fs  A )  e. Field  <->  ( ( Fs  A )  e.  DivRing  /\  ( Fs  A )  e.  CRing ) )
1110simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fs  A )  e. Field  ->  ( Fs  A )  e.  CRing )
12 crngrng 15629 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fs  A )  e.  CRing  -> 
( Fs  A )  e.  Ring )
13 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  ( Base `  ( Fs  A ) )
14 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  ( Fs  A ) )  =  ( .r
`  ( Fs  A ) )
1513, 14rngideu 15636 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fs  A )  e.  Ring  ->  E! x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( ( x ( .r
`  ( Fs  A ) ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  ( Fs  A ) ) x )  =  y ) )
1611, 12, 153syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( Fs  A )  e. Field  ->  E! x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( ( x ( .r
`  ( Fs  A ) ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  ( Fs  A ) ) x )  =  y ) )
17 reurex 2882 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( ( x ( .r
`  ( Fs  A ) ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  ( Fs  A ) ) x )  =  y )  ->  E. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( ( x ( .r
`  ( Fs  A ) ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  ( Fs  A ) ) x )  =  y ) )
18 rexn0 3690 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( ( x ( .r
`  ( Fs  A ) ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  ( Fs  A ) ) x )  =  y )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  =/=  (/) )
1916, 17, 183syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( Fs  A )  e. Field  ->  (
Base `  ( Fs  A
) )  =/=  (/) )
2019ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  =/=  (/) )
2120neneqd 2583 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  (/) )
229, 21condan 770 . . 3  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  A  e.  _V )
23 resstos 24141 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e. 
_V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )
243, 22, 23syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )
25 simp-5l 745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  F  e. oField )
2622ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  A  e.  _V )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  A  e.  _V )
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
29 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
3028, 29ressbas 13474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  =  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
31 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  C_  ( Base `  F )
3230, 31syl6eqssr 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
3327, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F )
)
3433adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F )
)
35 simp-4r 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  a  e.  ( Base `  ( Fs  A
) ) )
3634, 35sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  a  e.  ( Base `  F )
)
37 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  b  e.  ( Base `  ( Fs  A
) ) )
3834, 37sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  b  e.  ( Base `  F )
)
39 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  c  e.  ( Base `  ( Fs  A
) ) )
4034, 39sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  c  e.  ( Base `  F )
)
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( le
`  F )  =  ( le `  F
)
4228, 41ressle 13582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
4326, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
4544breqd 4183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( a ( le `  F ) b  <->  a ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )
4645biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  a ( le `  F ) b )
47 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
4829, 41, 47ofldadd 24191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. oField  /\  (
a  e.  ( Base `  F )  /\  b  e.  ( Base `  F
)  /\  c  e.  ( Base `  F )
)  /\  a ( le `  F ) b )  ->  ( a
( +g  `  F ) c ) ( le
`  F ) ( b ( +g  `  F
) c ) )
4925, 36, 38, 40, 46, 48syl131anc 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  ( a
( +g  `  F ) c ) ( le
`  F ) ( b ( +g  `  F
) c ) )
5028, 47ressplusg 13526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  ( Fs  A ) ) )
5127, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( +g  `  F
)  =  ( +g  `  ( Fs  A ) ) )
5251oveqd 6057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( a ( +g  `  F ) c )  =  ( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) )
5351oveqd 6057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( b ( +g  `  F ) c )  =  ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) )
5452, 44, 53breq123d 4186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( ( a ( +g  `  F
) c ) ( le `  F ) ( b ( +g  `  F ) c )  <-> 
( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ) )
5554adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  ( (
a ( +g  `  F
) c ) ( le `  F ) ( b ( +g  `  F ) c )  <-> 
( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ) )
5649, 55mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  a ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  ( a
( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) )
5756ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( a ( le `  ( Fs  A ) ) b  -> 
( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ) )
5857ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  A. c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) ( a ( le `  ( Fs  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ) )
59 simp-4l 743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  F  e. oField )
6022, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F )
)
6160ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F )
)
62 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  a  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
6361, 62sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  a  e.  (
Base `  F )
)
64 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a )
65 ofldfld 24189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. Field )
66 isfld 15799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. Field 
<->  ( F  e.  DivRing  /\  F  e.  CRing ) )
6766simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. Field  ->  F  e.  CRing )
68 crngrng 15629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  CRing  ->  F  e.  Ring )
6965, 67, 683syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Ring )
70 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. oField  ->  F  e.  Grp )
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  F  e.  Grp )
7329ressinbas 13480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Fs  A )  =  ( Fs  ( A  i^i  ( Base `  F ) ) ) )
7430oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Fs  ( A  i^i  ( Base `  F ) ) )  =  ( Fs  (
Base `  ( Fs  A
) ) ) )
7573, 74eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Fs  A )  =  ( Fs  ( Base `  ( Fs  A ) ) ) )
7622, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  =  ( Fs  ( Base `  ( Fs  A ) ) ) )
771, 11, 123syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e.  Ring )
78 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fs  A )  e.  Ring  -> 
( Fs  A )  e.  Grp )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e.  Grp )
8076, 79eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  e.  Grp )
8129issubg 14899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  e.  (SubGrp `  F )  <->  ( F  e.  Grp  /\  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F )  /\  ( Fs  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  e.  Grp ) )
8272, 60, 80, 81syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  e.  (SubGrp `  F )
)
83 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fs  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  =  ( Fs  ( Base `  ( Fs  A ) ) )
84 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
8583, 84subg0 14905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  e.  (SubGrp `  F )  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0g `  ( Fs  ( Base `  ( Fs  A
) ) ) ) )
8682, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( 0g `  F
)  =  ( 0g
`  ( Fs  ( Base `  ( Fs  A ) ) ) ) )
8776fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( 0g `  ( Fs  A ) )  =  ( 0g `  ( Fs  ( Base `  ( Fs  A
) ) ) ) )
8886, 87eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( 0g `  F
)  =  ( 0g
`  ( Fs  A ) ) )
8988ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0g `  ( Fs  A ) ) )
90 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  a  =  a )
9189, 43, 90breq123d 4186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( le `  F ) a  <->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a ) )
9291adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( le `  F ) a  <->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a ) )
9364, 92mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  F ) ( le
`  F ) a )
9463, 93jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( a  e.  ( Base `  F
)  /\  ( 0g `  F ) ( le
`  F ) a ) )
95 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
9661, 95sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  b  e.  (
Base `  F )
)
97 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) b )
98 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  b  =  b )
9989, 43, 98breq123d 4186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( le `  F ) b  <->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) b ) )
10099adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( le `  F ) b  <->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) b ) )
10197, 100mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  F ) ( le
`  F ) b )
10296, 101jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( b  e.  ( Base `  F
)  /\  ( 0g `  F ) ( le
`  F ) b ) )
103 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
10429, 41, 84, 103ofldmul 24192 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. oField  /\  (
a  e.  ( Base `  F )  /\  ( 0g `  F ) ( le `  F ) a )  /\  (
b  e.  ( Base `  F )  /\  ( 0g `  F ) ( le `  F ) b ) )  -> 
( 0g `  F
) ( le `  F ) ( a ( .r `  F
) b ) )
10559, 94, 102, 104syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  F ) ( le
`  F ) ( a ( .r `  F ) b ) )
10689adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  F )  =  ( 0g `  ( Fs  A ) ) )
10743adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
10826adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  A  e.  _V )
10928, 103ressmulr 13537 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  ( Fs  A ) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  ( Fs  A ) ) )
111110oveqd 6057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( a ( .r `  F ) b )  =  ( a ( .r `  ( Fs  A ) ) b ) )
112106, 107, 111breq123d 4186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( ( 0g
`  F ) ( le `  F ) ( a ( .r
`  F ) b )  <->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( a ( .r `  ( Fs  A ) ) b ) ) )
113105, 112mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) )  /\  ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b ) )  ->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( a ( .r `  ( Fs  A ) ) b ) )
114113ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( ( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) b )  ->  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( a ( .r `  ( Fs  A ) ) b ) ) )
11558, 114jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  ( A. c  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( a ( le `  ( Fs  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) )  /\  (
( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( a ( .r `  ( Fs  A ) ) b ) ) ) )
116115ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  /\  a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) )  ->  A. b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( A. c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) ( a ( le `  ( Fs  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) )  /\  (
( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( a ( .r `  ( Fs  A ) ) b ) ) ) )
117116ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  A. a  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( A. c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) ( a ( le `  ( Fs  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) )  /\  (
( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( a ( .r `  ( Fs  A ) ) b ) ) ) )
118 eqid 2404 . . 3  |-  ( +g  `  ( Fs  A ) )  =  ( +g  `  ( Fs  A ) )
119 eqid 2404 . . 3  |-  ( 0g
`  ( Fs  A ) )  =  ( 0g
`  ( Fs  A ) )
120 eqid 2404 . . 3  |-  ( le
`  ( Fs  A ) )  =  ( le
`  ( Fs  A ) )
12113, 118, 119, 14, 120isofld 24188 . 2  |-  ( ( Fs  A )  e. oField  <->  ( ( Fs  A )  e. Field  /\  ( Fs  A )  e. Toset  /\  A. a  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. b  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( A. c  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) ( a ( le `  ( Fs  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( b ( +g  `  ( Fs  A ) ) c ) )  /\  (
( ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) a  /\  ( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le
`  ( Fs  A ) ) b )  -> 
( 0g `  ( Fs  A ) ) ( le `  ( Fs  A ) ) ( a ( .r `  ( Fs  A ) ) b ) ) ) ) )
1221, 24, 117, 121syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e. oField )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   lecple 13491   0gc0g 13678  Tosetctos 14417   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   DivRingcdr 15790  Fieldcfield 15791  oFieldcofld 24186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-ple 13504  df-0g 13682  df-poset 14358  df-toset 14418  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-subg 14896  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-field 15793  df-ofld 24187
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