Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subofld Structured version   Unicode version

Theorem subofld 28575
Description: Every subfield of an ordered field is also an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
subofld  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e. oField )

Proof of Theorem subofld
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . 2  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e. Field )
2 isofld 28561 . . . . 5  |-  ( F  e. oField 
<->  ( F  e. Field  /\  F  e. oRing ) )
32simprbi 465 . . . 4  |-  ( F  e. oField  ->  F  e. oRing )
43adantr 466 . . 3  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  F  e. oRing )
5 isfld 17972 . . . . 5  |-  ( ( Fs  A )  e. Field  <->  ( ( Fs  A )  e.  DivRing  /\  ( Fs  A )  e.  CRing ) )
65simprbi 465 . . . 4  |-  ( ( Fs  A )  e. Field  ->  ( Fs  A )  e.  CRing )
7 crngring 17779 . . . 4  |-  ( ( Fs  A )  e.  CRing  -> 
( Fs  A )  e.  Ring )
81, 6, 73syl 18 . . 3  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e.  Ring )
9 suborng 28574 . . 3  |-  ( ( F  e. oRing  /\  ( Fs  A )  e.  Ring )  ->  ( Fs  A )  e. oRing )
104, 8, 9syl2anc 665 . 2  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e. oRing )
11 isofld 28561 . 2  |-  ( ( Fs  A )  e. oField  <->  ( ( Fs  A )  e. Field  /\  ( Fs  A )  e. oRing )
)
121, 10, 11sylanbrc 668 1  |-  ( ( F  e. oField  /\  ( Fs  A )  e. Field )  ->  ( Fs  A )  e. oField )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1868  (class class class)co 6302   ↾s cress 15110   Ringcrg 17768   CRingccrg 17769   DivRingcdr 17963  Fieldcfield 17964  oRingcorng 28554  oFieldcofld 28555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-ple 15198  df-0g 15328  df-poset 16179  df-toset 16268  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-subg 16802  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-field 17966  df-omnd 28457  df-ogrp 28458  df-orng 28556  df-ofld 28557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator