Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subofld Unicode version

Theorem subofld 24198
 Description: Every subfield of an ordered field is also an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
subofld oField s Field s oField

Proof of Theorem subofld
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . 2 oField s Field s Field
2 ofldtos 24190 . . . 4 oField Toset
32adantr 452 . . 3 oField s Field Toset
4 reldmress 13470 . . . . . . . 8 s
54ovprc2 6069 . . . . . . 7 s
65fveq2d 5691 . . . . . 6 s
76adantl 453 . . . . 5 oField s Field s
8 base0 13461 . . . . 5
97, 8syl6eqr 2454 . . . 4 oField s Field s
10 isfld 15799 . . . . . . . . 9 s Field s s
1110simprbi 451 . . . . . . . 8 s Field s
12 crngrng 15629 . . . . . . . 8 s s
13 eqid 2404 . . . . . . . . 9 s s
14 eqid 2404 . . . . . . . . 9 s s
1513, 14rngideu 15636 . . . . . . . 8 s s s s s
1611, 12, 153syl 19 . . . . . . 7 s Field s s s s
17 reurex 2882 . . . . . . 7 s s s s s s s s
18 rexn0 3690 . . . . . . 7 s s s s s
1916, 17, 183syl 19 . . . . . 6 s Field s
2019ad2antlr 708 . . . . 5 oField s Field s
2120neneqd 2583 . . . 4 oField s Field s
229, 21condan 770 . . 3 oField s Field
23 resstos 24141 . . 3 Toset s Toset
243, 22, 23syl2anc 643 . 2 oField s Field s Toset
25 simp-5l 745 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s oField
2622ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 oField s Field s s
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 oField s Field s s s
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14 s s
29 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29ressbas 13474 . . . . . . . . . . . . 13 s
31 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31syl6eqssr 3359 . . . . . . . . . . . 12 s
3327, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11 oField s Field s s s s
3433adantr 452 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s
35 simp-4r 744 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s
3634, 35sseldd 3309 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s
37 simpllr 736 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s
3834, 37sseldd 3309 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s
39 simplr 732 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s
4034, 39sseldd 3309 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
4228, 41ressle 13582 . . . . . . . . . . . . 13 s
4326, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12 oField s Field s s s
4443adantr 452 . . . . . . . . . . 11 oField s Field s s s s
4544breqd 4183 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s
4645biimpar 472 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s
47 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
4829, 41, 47ofldadd 24191 . . . . . . . . 9 oField
4925, 36, 38, 40, 46, 48syl131anc 1197 . . . . . . . 8 oField s Field s s s s
5028, 47ressplusg 13526 . . . . . . . . . . . 12 s
5127, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11 oField s Field s s s s
5251oveqd 6057 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s
5351oveqd 6057 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s
5452, 44, 53breq123d 4186 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s s s
5554adantr 452 . . . . . . . 8 oField s Field s s s s s s s
5649, 55mpbid 202 . . . . . . 7 oField s Field s s s s s s s
5756ex 424 . . . . . 6 oField s Field s s s s s s s
5857ralrimiva 2749 . . . . 5 oField s Field s s s s s s s
59 simp-4l 743 . . . . . . . 8 oField s Field s s s s s s oField
6022, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11 oField s Field s
6160ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s s s
62 simpllr 736 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s s s
6361, 62sseldd 3309 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s s s
64 simprl 733 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s s s s
65 ofldfld 24189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 oField Field
66 isfld 15799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Field
6766simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Field
68 crngrng 15629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6965, 67, 683syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 oField
70 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 oField
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField s Field
7329ressinbas 13480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s s
7430oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s s s
7573, 74eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s s s
7622, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 oField s Field s s s
771, 11, 123syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 oField s Field s
78 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s s
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 oField s Field s
8076, 79eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField s Field s s
8129issubg 14899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s SubGrp s s s
8272, 60, 80, 81syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField s Field s SubGrp
83 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s s s
84 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8583, 84subg0 14905 . . . . . . . . . . . . . . 15 s SubGrp s s
8682, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 oField s Field s s
8776fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14 oField s Field s s s
8886, 87eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13 oField s Field s
8988ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 oField s Field s s s
90 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12 oField s Field s s
9189, 43, 90breq123d 4186 . . . . . . . . . . 11 oField s Field s s s s
9291adantr 452 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s s s s
9364, 92mpbird 224 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s s s
9463, 93jca 519 . . . . . . . 8 oField s Field s s s s s s
95 simplr 732 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s s s
9661, 95sseldd 3309 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s s s
97 simprr 734 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s s s s
98 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12 oField s Field s s
9989, 43, 98breq123d 4186 . . . . . . . . . . 11 oField s Field s s s s
10099adantr 452 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s s s s
10197, 100mpbird 224 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s s s
10296, 101jca 519 . . . . . . . 8 oField s Field s s s s s s
103 eqid 2404 . . . . . . . . 9
10429, 41, 84, 103ofldmul 24192 . . . . . . . 8 oField
10559, 94, 102, 104syl3anc 1184 . . . . . . 7 oField s Field s s s s s s
10689adantr 452 . . . . . . . 8 oField s Field s s s s s s s
10743adantr 452 . . . . . . . 8 oField s Field s s s s s s s
10826adantr 452 . . . . . . . . . 10 oField s Field s s s s s s
10928, 103ressmulr 13537 . . . . . . . . . 10 s
110108, 109syl 16 . . . . . . . . 9 oField s Field s s s s s s s
111110oveqd 6057 . . . . . . . 8 oField s Field s s s s s s s
112106, 107, 111breq123d 4186 . . . . . . 7 oField s Field s s s s s s s s s
113105, 112mpbid 202 . . . . . 6 oField s Field s s s s s s s s s
114113ex 424 . . . . 5 oField s Field s s s s s s s s s
11558, 114jca 519 . . . 4 oField s Field s s s s s s s s s s s s s s
116115ralrimiva 2749 . . 3 oField s Field s s s s s s s s s s s s s s
117116ralrimiva 2749 . 2 oField s Field s s s s s s s s s s s s s s
118 eqid 2404 . . 3 s s
119 eqid 2404 . . 3 s s
120 eqid 2404 . . 3 s s
12113, 118, 119, 14, 120isofld 24188 . 2 s oField s Field s Toset s s s s s s s s s s s s s s
1221, 24, 117, 121syl3anbrc 1138 1 oField s Field s oField
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  wreu 2668  cvv 2916   cin 3279   wss 3280  c0 3588   class class class wbr 4172  cfv 5413  (class class class)co 6040  cbs 13424   ↾s cress 13425   cplusg 13484  cmulr 13485  cple 13491  c0g 13678  Tosetctos 14417  cgrp 14640  SubGrpcsubg 14893  crg 15615  ccrg 15616  cdr 15790  Fieldcfield 15791  oFieldcofld 24186 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-ple 13504  df-0g 13682  df-poset 14358  df-toset 14418  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-subg 14896  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-field 15793  df-ofld 24187
 Copyright terms: Public domain W3C validator