MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subnegd Unicode version

Theorem subnegd 9374
Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subnegd  |-  ( ph  ->  ( A  -  -u B
)  =  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem subnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subneg 9306 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  -u B
)  =  ( A  +  B ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  -u B
)  =  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  ipcnval  11903  cossub  12725  znunit  16799  cphsqrcl2  19102  ulmshft  20259  ptolemy  20357  efeq1  20384  quad2  20632  dcubic2  20637  dcubic  20639  mcubic  20640  dquartlem1  20644  quart  20654  asinlem  20661  asinlem2  20662  sinasin  20682  asinsin  20685  atandmtan  20713  atantan  20716  lgseisenlem2  21087  rpvmasum2  21159  chpdifbndlem1  21200  pntrsumo1  21212  pntrlog2bndlem4  21227  nvabs  22115  lgamgulmlem2  24767  lgambdd  24774  lgamucov  24775  possumd  25162  fallfacfwd  25303  areacirc  26187  acongrep  26935  acongeq  26938  jm2.25  26960  jm2.26lem3  26962  sigarms  27713
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator