MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subne0d Structured version   Unicode version

Theorem subne0d 9959
Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
subne0d  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem subne0d
StepHypRef Expression
1 subne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 negidd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 pncand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 subeq0 9864 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
65necon3bid 2715 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =/=  0  <->  A  =/=  B ) )
71, 6mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    - cmin 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826
This theorem is referenced by:  abssubne0  13161  rlimuni  13385  climuni  13387  evth  21585  dvlem  22426  dvconst  22446  dvid  22447  dvcnp2  22449  dvaddbr  22467  dvmulbr  22468  dvcobr  22475  dvcjbr  22478  dvrec  22484  dvcnvlem  22503  dvferm2lem  22513  taylthlem2  22895  ulmdvlem1  22921  ang180lem4  23270  ang180lem5  23271  ang180  23272  isosctrlem3  23280  isosctr  23281  ssscongptld  23282  angpieqvdlem  23285  angpieqvdlem2  23286  angpined  23287  angpieqvd  23288  chordthmlem  23289  chordthmlem2  23290  heron  23295  asinlem  23325  ttgcontlem1  24315  brbtwn2  24335  axcontlem8  24401  2sqmod  27796  signsvtn0  28724  lgamgulmlem2  28769  lgamgulmlem3  28770  pellexlem6  30974  jm2.26lem3  31147  areaquad  31388  bcc0  31449  bccm1k  31451  abssubrp  31660  lptre2pt  31849  limclner  31860  fperdvper  31918  stoweidlem23  32008  wallispilem4  32053  wallispi  32055  wallispi2lem1  32056  wallispi2lem2  32057  wallispi2  32058  stirlinglem5  32063  fourierdlem4  32096  fourierdlem42  32134  fourierdlem74  32166  fourierdlem75  32167  fouriersw  32217  sigardiv  32281  sigarcol  32284  sharhght  32285  bj-bary1lem  34822  bj-bary1lem1  34823  bj-bary1  34824
  Copyright terms: Public domain W3C validator