MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subne0d Structured version   Unicode version

Theorem subne0d 9939
Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
subne0d  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem subne0d
StepHypRef Expression
1 subne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 negidd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 pncand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 subeq0 9845 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
65necon3bid 2725 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =/=  0  <->  A  =/=  B ) )
71, 6mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    - cmin 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-sub 9807
This theorem is referenced by:  abssubne0  13112  rlimuni  13336  climuni  13338  evth  21222  dvlem  22063  dvconst  22083  dvid  22084  dvcnp2  22086  dvaddbr  22104  dvmulbr  22105  dvcobr  22112  dvcjbr  22115  dvrec  22121  dvcnvlem  22140  dvferm2lem  22150  taylthlem2  22531  ulmdvlem1  22557  ang180lem4  22900  ang180lem5  22901  ang180  22902  isosctrlem3  22910  isosctr  22911  ssscongptld  22912  angpieqvdlem  22915  angpieqvdlem2  22916  angpined  22917  angpieqvd  22918  chordthmlem  22919  chordthmlem2  22920  heron  22925  asinlem  22955  ttgcontlem1  23892  brbtwn2  23912  axcontlem8  23978  signsvtn0  28195  lgamgulmlem2  28240  lgamgulmlem3  28241  pellexlem6  30402  jm2.26lem3  30575  areaquad  30817  abssubrp  31062  lptre2pt  31210  limclner  31221  fperdvper  31276  stoweidlem23  31351  wallispilem4  31396  wallispi  31398  wallispi2lem1  31399  wallispi2lem2  31400  wallispi2  31401  stirlinglem5  31406  fourierdlem4  31439  fourierdlem42  31477  fourierdlem74  31509  fourierdlem75  31510  fouriersw  31560  sigardiv  31573  sigarcol  31576  sharhght  31577  bj-bary1lem  33769  bj-bary1lem1  33770  bj-bary1  33771
  Copyright terms: Public domain W3C validator