MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subne0d Structured version   Unicode version

Theorem subne0d 9728
Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
subne0d  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem subne0d
StepHypRef Expression
1 subne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 negidd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 pncand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 subeq0 9635 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
65necon3bid 2643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =/=  0  <->  A  =/=  B ) )
71, 6mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282    - cmin 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-ltxr 9423  df-sub 9597
This theorem is referenced by:  abssubne0  12804  rlimuni  13028  climuni  13030  evth  20531  dvlem  21371  dvconst  21391  dvid  21392  dvcnp2  21394  dvaddbr  21412  dvmulbr  21413  dvcobr  21420  dvcjbr  21423  dvrec  21429  dvcnvlem  21448  dvferm2lem  21458  taylthlem2  21839  ulmdvlem1  21865  ang180lem4  22208  ang180lem5  22209  ang180  22210  isosctrlem3  22218  isosctr  22219  ssscongptld  22220  angpieqvdlem  22223  angpieqvdlem2  22224  angpined  22225  angpieqvd  22226  chordthmlem  22227  chordthmlem2  22228  heron  22233  asinlem  22263  ttgcontlem1  23131  brbtwn2  23151  axcontlem8  23217  signsvtn0  26971  lgamgulmlem2  27016  lgamgulmlem3  27017  pellexlem6  29175  jm2.26lem3  29350  areaquad  29592  stoweidlem23  29818  wallispilem4  29863  wallispi  29865  wallispi2lem1  29866  wallispi2lem2  29867  wallispi2  29868  stirlinglem5  29873  sigardiv  29897  sigarcol  29900  sharhght  29901  bj-bary1lem  32599  bj-bary1lem1  32600  bj-bary1  32601
  Copyright terms: Public domain W3C validator