MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subne0ad Structured version   Unicode version

Theorem subne0ad 9836
Description: If the difference of two complex numbers is nonzero, they are unequal. Converse of subne0d 9834. Contrapositive of subeq0bd 9880. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subne0ad.3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
subne0ad  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )

Proof of Theorem subne0ad
StepHypRef Expression
1 subne0ad.3 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )
2 negidd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 pncand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
42, 3subeq0ad 9835 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
54necon3bid 2707 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =/=  0  <->  A  =/=  B ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2645  (class class class)co 6195   CCcc 9386   0cc0 9388    - cmin 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-ltxr 9529  df-sub 9703
This theorem is referenced by:  reperflem  20522  angpieqvd  22354  chordthmlem2  22356  atandmtan  22443
  Copyright terms: Public domain W3C validator