Theorem submul2 10038

Description: Convert a subtraction to addition using multiplication by a negative. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
submul2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - ( B x. C ) ) = ( A + ( B x. -u C ) ) )

Proof of Theorem submul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulneg2 10035	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. -u C ) = -u ( B x. C ) )
2	1	adantl 464	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( B x. -u C ) = -u ( B x. C ) )
3	2	oveq2d 6294	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( A + ( B x. -u C ) ) = ( A + -u ( B x. C ) ) )
4		mulcl 9606	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) e. CC )
5		negsub 9903	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) -> ( A + -u ( B x. C ) ) = ( A - ( B x. C ) ) )
6	4, 5	sylan2 472	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( A + -u ( B x. C ) ) = ( A - ( B x. C ) ) )
7	3, 6	eqtr2d 2444	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( B e. CC /\ C e. CC ) ) -> ( A - ( B x. C ) ) = ( A + ( B x. -u C ) ) )
8	7	3impb 1193	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - ( B x. C ) ) = ( A + ( B x. -u C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520   + caddc 9525   x. cmul 9527   - cmin 9841   -ucneg 9842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-neg 9844

This theorem is referenced by:  dipcj  26041