Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submomnd Structured version   Unicode version

Theorem submomnd 27492
Description: A submonoid of an ordered monoid is also ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
submomnd  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Ms  A )  e. oMnd )

Proof of Theorem submomnd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Ms  A )  e.  Mnd )
2 omndtos 27487 . . . . 5  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e. Toset )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  M  e. Toset )
4 reldmress 14553 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
54ovprc2 6323 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ms  A )  =  (/) )
65fveq2d 5875 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  ( Ms  A
) )  =  (
Base `  (/) ) )
76adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =  ( Base `  (/) ) )
8 base0 14541 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
97, 8syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =  (/) )
10 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( Ms  A ) )  =  ( Base `  ( Ms  A ) )
11 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  ( Ms  A ) )  =  ( 0g
`  ( Ms  A ) )
1210, 11mndidcl 15790 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ms  A )  e.  Mnd  ->  ( 0g `  ( Ms  A ) )  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) )
13 ne0i 3796 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  ( Ms  A ) )  e.  (
Base `  ( Ms  A
) )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =/=  (/) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Ms  A )  e.  Mnd  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =/=  (/) )
1514ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =/=  (/) )
1615neneqd 2669 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  -.  ( Base `  ( Ms  A
) )  =  (/) )
179, 16condan 792 . . . 4  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  A  e.  _V )
18 resstos 27440 . . . 4  |-  ( ( M  e. Toset  /\  A  e. 
_V )  ->  ( Ms  A )  e. Toset )
193, 17, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Ms  A )  e. Toset )
20 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  M  e. oMnd )
21 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ms  A )  =  ( Ms  A )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2321, 22ressbas 14557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  M
) )  =  (
Base `  ( Ms  A
) ) )
24 inss2 3724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( Base `  M
) )  C_  ( Base `  M )
2523, 24syl6eqssr 3560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  C_  ( Base `  M ) )
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  C_  ( Base `  M )
)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  C_  ( Base `  M )
)
28 simplr1 1038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  a  e.  (
Base `  ( Ms  A
) ) )
2927, 28sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  a  e.  (
Base `  M )
)
30 simplr2 1039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  b  e.  (
Base `  ( Ms  A
) ) )
3127, 30sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  b  e.  (
Base `  M )
)
32 simplr3 1040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  c  e.  (
Base `  ( Ms  A
) ) )
3327, 32sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  c  e.  (
Base `  M )
)
3429, 31, 333jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( a  e.  ( Base `  M
)  /\  b  e.  ( Base `  M )  /\  c  e.  ( Base `  M ) ) )
35 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( le
`  M )  =  ( le `  M
)
3621, 35ressle 14667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  M )  =  ( le `  ( Ms  A ) ) )
3717, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( le `  M )  =  ( le `  ( Ms  A ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( le `  M )  =  ( le `  ( Ms  A ) ) )
3938breqd 4463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( a
( le `  M
) b  <->  a ( le `  ( Ms  A ) ) b ) )
4039biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  a ( le
`  M ) b )
41 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
4222, 35, 41omndadd 27488 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  (
a  e.  ( Base `  M )  /\  b  e.  ( Base `  M
)  /\  c  e.  ( Base `  M )
)  /\  a ( le `  M ) b )  ->  ( a
( +g  `  M ) c ) ( le
`  M ) ( b ( +g  `  M
) c ) )
4320, 34, 40, 42syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( a ( +g  `  M ) c ) ( le
`  M ) ( b ( +g  `  M
) c ) )
4417adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
4521, 41ressplusg 14609 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  ( Ms  A ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  ( Ms  A ) ) )
4746oveqd 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( a
( +g  `  M ) c )  =  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) )
4844, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( le `  M )  =  ( le `  ( Ms  A ) ) )
4946oveqd 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( b
( +g  `  M ) c )  =  ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) )
5047, 48, 49breq123d 4466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  M
) c ) ( le `  M ) ( b ( +g  `  M ) c )  <-> 
( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) )
5150adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( ( a ( +g  `  M
) c ) ( le `  M ) ( b ( +g  `  M ) c )  <-> 
( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) )
5243, 51mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) )
5352ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( a
( le `  ( Ms  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) )
5453ralrimivvva 2889 . . 3  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  A. a  e.  (
Base `  ( Ms  A
) ) A. b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ( a ( le `  ( Ms  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) )
551, 19, 543jca 1176 . 2  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( ( Ms  A )  e.  Mnd  /\  ( Ms  A )  e. Toset  /\  A. a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ( a ( le `  ( Ms  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) ) )
56 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  ( Ms  A ) )  =  ( +g  `  ( Ms  A ) )
57 eqid 2467 . . 3  |-  ( le
`  ( Ms  A ) )  =  ( le
`  ( Ms  A ) )
5810, 56, 57isomnd 27483 . 2  |-  ( ( Ms  A )  e. oMnd  <->  ( ( Ms  A )  e.  Mnd  /\  ( Ms  A )  e. Toset  /\  A. a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ( a ( le `  ( Ms  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) ) )
5955, 58sylibr 212 1  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Ms  A )  e. oMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4452   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   ↾s cress 14503   +g cplusg 14567   lecple 14574   0gc0g 14707  Tosetctos 15532   Mndcmnd 15772  oMndcomnd 27479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-ple 14587  df-0g 14709  df-poset 15445  df-toset 15533  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-omnd 27481
This theorem is referenced by:  suborng  27598  nn0omnd  27624
  Copyright terms: Public domain W3C validator