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Theorem submomnd 26173
Description: A submonoid of an ordered monoid is also ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
submomnd  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Ms  A )  e. oMnd )

Proof of Theorem submomnd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Ms  A )  e.  Mnd )
2 omndtos 26168 . . . . 5  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e. Toset )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  M  e. Toset )
4 reldmress 14224 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
54ovprc2 6120 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ms  A )  =  (/) )
65fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  ( Ms  A
) )  =  (
Base `  (/) ) )
76adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =  ( Base `  (/) ) )
8 base0 14213 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
97, 8syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =  (/) )
10 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( Ms  A ) )  =  ( Base `  ( Ms  A ) )
11 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  ( Ms  A ) )  =  ( 0g
`  ( Ms  A ) )
1210, 11mndidcl 15439 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ms  A )  e.  Mnd  ->  ( 0g `  ( Ms  A ) )  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) )
13 ne0i 3643 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  ( Ms  A ) )  e.  (
Base `  ( Ms  A
) )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =/=  (/) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Ms  A )  e.  Mnd  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =/=  (/) )
1514ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  =/=  (/) )
1615neneqd 2624 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  -.  A  e. 
_V )  ->  -.  ( Base `  ( Ms  A
) )  =  (/) )
179, 16condan 792 . . . 4  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  A  e.  _V )
18 resstos 26121 . . . 4  |-  ( ( M  e. Toset  /\  A  e. 
_V )  ->  ( Ms  A )  e. Toset )
193, 17, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Ms  A )  e. Toset )
20 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  M  e. oMnd )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ms  A )  =  ( Ms  A )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2321, 22ressbas 14228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  M
) )  =  (
Base `  ( Ms  A
) ) )
24 inss2 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( Base `  M
) )  C_  ( Base `  M )
2523, 24syl6eqssr 3407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  C_  ( Base `  M ) )
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  C_  ( Base `  M )
)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( Base `  ( Ms  A ) )  C_  ( Base `  M )
)
28 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  a  e.  (
Base `  ( Ms  A
) ) )
2927, 28sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  a  e.  (
Base `  M )
)
30 simplr2 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  b  e.  (
Base `  ( Ms  A
) ) )
3127, 30sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  b  e.  (
Base `  M )
)
32 simplr3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  c  e.  (
Base `  ( Ms  A
) ) )
3327, 32sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  c  e.  (
Base `  M )
)
3429, 31, 333jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( a  e.  ( Base `  M
)  /\  b  e.  ( Base `  M )  /\  c  e.  ( Base `  M ) ) )
35 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( le
`  M )  =  ( le `  M
)
3621, 35ressle 14338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  M )  =  ( le `  ( Ms  A ) ) )
3717, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( le `  M )  =  ( le `  ( Ms  A ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( le `  M )  =  ( le `  ( Ms  A ) ) )
3938breqd 4303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( a
( le `  M
) b  <->  a ( le `  ( Ms  A ) ) b ) )
4039biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  a ( le
`  M ) b )
41 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
4222, 35, 41omndadd 26169 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  (
a  e.  ( Base `  M )  /\  b  e.  ( Base `  M
)  /\  c  e.  ( Base `  M )
)  /\  a ( le `  M ) b )  ->  ( a
( +g  `  M ) c ) ( le
`  M ) ( b ( +g  `  M
) c ) )
4320, 34, 40, 42syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( a ( +g  `  M ) c ) ( le
`  M ) ( b ( +g  `  M
) c ) )
4417adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
4521, 41ressplusg 14280 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  ( Ms  A ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  ( Ms  A ) ) )
4746oveqd 6108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( a
( +g  `  M ) c )  =  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) )
4844, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( le `  M )  =  ( le `  ( Ms  A ) ) )
4946oveqd 6108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( b
( +g  `  M ) c )  =  ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) )
5047, 48, 49breq123d 4306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  M
) c ) ( le `  M ) ( b ( +g  `  M ) c )  <-> 
( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) )
5150adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( ( a ( +g  `  M
) c ) ( le `  M ) ( b ( +g  `  M ) c )  <-> 
( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) )
5243, 51mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  /\  a ( le `  ( Ms  A ) ) b )  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) )
5352ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  /\  ( a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) )  /\  c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ) )  ->  ( a
( le `  ( Ms  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) )
5453ralrimivvva 2809 . . 3  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  A. a  e.  (
Base `  ( Ms  A
) ) A. b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ( a ( le `  ( Ms  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) )
551, 19, 543jca 1168 . 2  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( ( Ms  A )  e.  Mnd  /\  ( Ms  A )  e. Toset  /\  A. a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ( a ( le `  ( Ms  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) ) )
56 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  ( Ms  A ) )  =  ( +g  `  ( Ms  A ) )
57 eqid 2443 . . 3  |-  ( le
`  ( Ms  A ) )  =  ( le
`  ( Ms  A ) )
5810, 56, 57isomnd 26164 . 2  |-  ( ( Ms  A )  e. oMnd  <->  ( ( Ms  A )  e.  Mnd  /\  ( Ms  A )  e. Toset  /\  A. a  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. b  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) A. c  e.  ( Base `  ( Ms  A ) ) ( a ( le `  ( Ms  A ) ) b  ->  ( a ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ( le `  ( Ms  A ) ) ( b ( +g  `  ( Ms  A ) ) c ) ) ) )
5955, 58sylibr 212 1  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )  ->  ( Ms  A )  e. oMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   +g cplusg 14238   lecple 14245   0gc0g 14378  Tosetctos 15203   Mndcmnd 15409  oMndcomnd 26160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-ple 14258  df-0g 14380  df-poset 15116  df-toset 15204  df-mnd 15415  df-omnd 26162
This theorem is referenced by:  suborng  26283  nn0omnd  26309
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