MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submcmn2 Structured version   Unicode version

Theorem submcmn2 16826
Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgabl.h  |-  H  =  ( Gs  S )
submcmn2.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
submcmn2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <-> 
S  C_  ( Z `  S ) ) )

Proof of Theorem submcmn2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgabl.h . . . 4  |-  H  =  ( Gs  S )
21submbas 15965 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 3ressplusg 14721 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H ) )
54oveqd 6298 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( x ( +g  `  H
) y ) )
64oveqd 6298 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( y
( +g  `  G ) x )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) )
75, 6eqeq12d 2465 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <-> 
( x ( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
82, 7raleqbidv 3054 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
92, 8raleqbidv 3054 . 2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  H ) A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
10 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1110submss 15960 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
12 submcmn2.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
1310, 3, 12sscntz 16343 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( S  C_  ( Z `  S )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )
1411, 11, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( S  C_  ( Z `  S
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
151submmnd 15964 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
16 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
17 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
1816, 17iscmn 16784 . . . 4  |-  ( H  e. CMnd 
<->  ( H  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  H ) A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
1918baib 903 . . 3  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( H  e. CMnd  <->  A. x  e.  (
Base `  H ) A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
2015, 19syl 16 . 2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <->  A. x  e.  ( Base `  H ) A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
219, 14, 203bitr4rd 286 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <-> 
S  C_  ( Z `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   ↾s cress 14615   +g cplusg 14679   Mndcmnd 15898  SubMndcsubmnd 15944  Cntzccntz 16332  CMndccmn 16777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-cntz 16334  df-cmn 16779
This theorem is referenced by:  cntzspan  16829  gsumzsplit  16923  gsumzsplitOLD  16924  gsumzoppg  16946  gsumzoppgOLD  16947  gsumpt  16967  gsumptOLD  16968
  Copyright terms: Public domain W3C validator