MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submcmn2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem submcmn2 17527
Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgabl.h  |-  H  =  ( Gs  S )
submcmn2.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
submcmn2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <-> 
S  C_  ( Z `  S ) ) )

Proof of Theorem submcmn2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgabl.h . . . 4  |-  H  =  ( Gs  S )
21submbas 16650 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
3 eqid 2461 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 3ressplusg 15287 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H ) )
54oveqd 6331 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( x ( +g  `  H
) y ) )
64oveqd 6331 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( y
( +g  `  G ) x )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) )
75, 6eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <-> 
( x ( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
82, 7raleqbidv 3012 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
92, 8raleqbidv 3012 . 2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  H ) A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
10 eqid 2461 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1110submss 16645 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
12 submcmn2.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
1310, 3, 12sscntz 17028 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( S  C_  ( Z `  S )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) )
1411, 11, 13syl2anc 671 . 2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( S  C_  ( Z `  S
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
151submmnd 16649 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
16 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
17 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
1816, 17iscmn 17485 . . . 4  |-  ( H  e. CMnd 
<->  ( H  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  H ) A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
1918baib 919 . . 3  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( H  e. CMnd  <->  A. x  e.  (
Base `  H ) A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
2015, 19syl 17 . 2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <->  A. x  e.  ( Base `  H ) A. y  e.  ( Base `  H ) ( x ( +g  `  H
) y )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) ) )
219, 14, 203bitr4rd 294 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( H  e. CMnd  <-> 
S  C_  ( Z `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748    C_ wss 3415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Basecbs 15169   ↾s cress 15170   +g cplusg 15238   Mndcmnd 16583  SubMndcsubmnd 16629  Cntzccntz 17017  CMndccmn 17478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-0g 15388  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-cntz 17019  df-cmn 17480
This theorem is referenced by:  cntzspan  17530  gsumzsplit  17608  gsumzoppg  17625  gsumpt  17642
  Copyright terms: Public domain W3C validator