Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submarchi Structured version   Unicode version

Theorem submarchi 27882
 Description: A submonoid is archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
submarchi Toset Archi SubMnd s Archi

Proof of Theorem submarchi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 16103 . . . . . 6 SubMnd
2 eqid 2457 . . . . . . 7
3 eqid 2457 . . . . . . 7
4 eqid 2457 . . . . . . 7 .g .g
5 eqid 2457 . . . . . . 7
6 eqid 2457 . . . . . . 7
72, 3, 4, 5, 6isarchi2 27881 . . . . . 6 Toset Archi .g
81, 7sylan2 474 . . . . 5 Toset SubMnd Archi .g
98biimpa 484 . . . 4 Toset SubMnd Archi .g
109an32s 804 . . 3 Toset Archi SubMnd .g
11 eqid 2457 . . . . . . . 8 s s
1211submbas 16112 . . . . . . 7 SubMnd s
132submss 16107 . . . . . . 7 SubMnd
1412, 13eqsstr3d 3534 . . . . . 6 SubMnd s
15 ssralv 3560 . . . . . . . 8 s .g s .g
1615ralimdv 2867 . . . . . . 7 s .g s .g
17 ssralv 3560 . . . . . . 7 s s .g s s .g
1816, 17syld 44 . . . . . 6 s .g s s .g
1914, 18syl 16 . . . . 5 SubMnd .g s s .g
2019adantl 466 . . . 4 Toset Archi SubMnd .g s s .g
2111, 3subm0 16113 . . . . . . . . . 10 SubMnd s
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 SubMnd s s s
2311, 5ressle 14815 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd s
2423difeq1d 3617 . . . . . . . . . . 11 SubMnd s
255, 6pltfval 15715 . . . . . . . . . . . 12
261, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubMnd
2711submmnd 16111 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd s
28 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13 s s
29 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13 s s
3028, 29pltfval 15715 . . . . . . . . . . . 12 s s s
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubMnd s s
3224, 26, 313eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10 SubMnd s
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 SubMnd s s s
34 eqidd 2458 . . . . . . . . 9 SubMnd s s
3522, 33, 34breq123d 4470 . . . . . . . 8 SubMnd s s s s
36 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10 SubMnd s s
3723ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 SubMnd s s s
38 simplll 759 . . . . . . . . . . 11 SubMnd s s SubMnd
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd s s
4039nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . 11 SubMnd s s
41 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd s s s
4238, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd s s s
4341, 42eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . 11 SubMnd s s
44 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12 .gs .gs
454, 11, 44submmulg 16303 . . . . . . . . . . 11 SubMnd .g .gs
4638, 40, 43, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 SubMnd s s .g .gs
4736, 37, 46breq123d 4470 . . . . . . . . 9 SubMnd s s .g s .gs
4847rexbidva 2965 . . . . . . . 8 SubMnd s s .g s .gs
4935, 48imbi12d 320 . . . . . . 7 SubMnd s s .g s s s .gs
5049ralbidva 2893 . . . . . 6 SubMnd s s .g s s s s .gs
5150ralbidva 2893 . . . . 5 SubMnd s s .g s s s s s .gs
5251adantl 466 . . . 4 Toset Archi SubMnd s s .g s s s s s .gs
5320, 52sylibd 214 . . 3 Toset Archi SubMnd .g s s s s s .gs
5410, 53mpd 15 . 2 Toset Archi SubMnd s s s s s .gs
55 resstos 27800 . . . 4 Toset SubMnd s Toset
5627adantl 466 . . . 4 Toset SubMnd s
57 eqid 2457 . . . . 5 s s
58 eqid 2457 . . . . 5 s s
5957, 58, 44, 28, 29isarchi2 27881 . . . 4 s Toset s s Archi s s s s s .gs
6055, 56, 59syl2anc 661 . . 3 Toset SubMnd s Archi s s s s s .gs
6160adantlr 714 . 2 Toset Archi SubMnd s Archi s s s s s .gs
6254, 61mpbird 232 1 Toset Archi SubMnd s Archi
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808   cdif 3468   wss 3471   class class class wbr 4456   cid 4799  cfv 5594  (class class class)co 6296  cn 10556  cn0 10816  cbs 14643   ↾s cress 14644  cple 14718  c0g 14856  cplt 15696  Tosetctos 15789  cmnd 16045  SubMndcsubmnd 16091  .gcmg 16182  Archicarchi 27873 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-ple 14731  df-0g 14858  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-toset 15790  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-inftm 27874  df-archi 27875 This theorem is referenced by:  nn0archi  27986
 Copyright terms: Public domain W3C validator