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Theorem submarchi 26201
Description: A submonoid is archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
submarchi  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e. Archi )  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( Ws  A
)  e. Archi )

Proof of Theorem submarchi
Dummy variables  x  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 15472 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  W  e.  Mnd )
2 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
5 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( le
`  W )  =  ( le `  W
)
6 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( lt
`  W )  =  ( lt `  W
)
72, 3, 4, 5, 6isarchi2 26200 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  (
Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) ) )
81, 7sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Toset  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W ) ( lt `  W
) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) ) )
98biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  /\  W  e. Archi )  ->  A. x  e.  (
Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) )
109an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e. Archi )  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  A. x  e.  ( Base `  W
) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) )
11 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Ws  A )  =  ( Ws  A )
1211submbas 15481 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  A  =  ( Base `  ( Ws  A
) ) )
132submss 15476 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  A  C_  ( Base `  W ) )
1412, 13eqsstr3d 3389 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( Base `  ( Ws  A ) )  C_  ( Base `  W )
)
15 ssralv 3414 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  ( Ws  A
) )  C_  ( Base `  W )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) ) )
1615ralimdv 2793 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ( Ws  A
) )  C_  ( Base `  W )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  W
) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  W
) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) ) )
17 ssralv 3414 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  ( Ws  A
) )  C_  ( Base `  W )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  W
) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) ) )
1816, 17syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( Ws  A
) )  C_  ( Base `  W )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  W
) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) ) )
1914, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) ) )
2019adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e. Archi )  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) ) ) )
2111, 3subm0 15482 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( 0g `  W )  =  ( 0g `  ( Ws  A ) ) )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) )  -> 
( 0g `  W
)  =  ( 0g
`  ( Ws  A ) ) )
2311, 5ressle 14336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( le `  W )  =  ( le `  ( Ws  A ) ) )
2423difeq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( ( le `  W )  \  _I  )  =  (
( le `  ( Ws  A ) )  \  _I  ) )
255, 6pltfval 15127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  Mnd  ->  ( lt `  W )  =  ( ( le `  W )  \  _I  ) )
261, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( lt `  W )  =  ( ( le `  W
)  \  _I  )
)
2711submmnd 15480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( Ws  A
)  e.  Mnd )
28 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( le
`  ( Ws  A ) )  =  ( le
`  ( Ws  A ) )
29 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( lt
`  ( Ws  A ) )  =  ( lt
`  ( Ws  A ) )
3028, 29pltfval 15127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ws  A )  e.  Mnd  ->  ( lt `  ( Ws  A ) )  =  ( ( le `  ( Ws  A ) )  \  _I  ) )
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( lt `  ( Ws  A ) )  =  ( ( le `  ( Ws  A ) )  \  _I  ) )
3224, 26, 313eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( lt `  W )  =  ( lt `  ( Ws  A ) ) )
3332ralrimivw 2798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( lt `  W )  =  ( lt `  ( Ws  A ) ) )
3433ralrimivw 2798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( lt `  W )  =  ( lt `  ( Ws  A ) ) )
3534r19.21bi 2812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  ->  A. y  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) ( lt
`  W )  =  ( lt `  ( Ws  A ) ) )
3635r19.21bi 2812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) )  -> 
( lt `  W
)  =  ( lt
`  ( Ws  A ) ) )
37 eqidd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) )  ->  x  =  x )
3822, 36, 37breq123d 4304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) )  -> 
( ( 0g `  W ) ( lt
`  W ) x  <-> 
( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x ) )
39 eqidd 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  y  =  y )
4023ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( le `  W )  =  ( le `  ( Ws  A ) ) )
41 simplll 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  (SubMnd `  W ) )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4342nnnn0d 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
44 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) )
4541, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  =  (
Base `  ( Ws  A
) ) )
4644, 45eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  A
)
47 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  ( Ws  A ) )  =  (.g `  ( Ws  A ) )
484, 11, 47submmulg 15660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  n  e.  NN0  /\  x  e.  A )  ->  (
n (.g `  W ) x )  =  ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) )
4941, 43, 46, 48syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n (.g `  W ) x )  =  ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) )
5039, 40, 49breq123d 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( y ( le `  W ) ( n (.g `  W
) x )  <->  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) )
5150rexbidva 2730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x )  <->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) )
5238, 51imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) )  -> 
( ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  <->  ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) ) )
5352ralbidva 2729 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubMnd `  W )  /\  x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) ) )
5453ralbidva 2729 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  W
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) ) )
5554adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e. Archi )  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  W
) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) ) )
5620, 55sylibd 214 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e. Archi )  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W
) ( ( 0g
`  W ) ( lt `  W ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n (.g `  W ) x ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) ) )
5710, 56mpd 15 . 2  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e. Archi )  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) )
58 resstos 26119 . . . 4  |-  ( ( W  e. Toset  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( Ws  A
)  e. Toset )
5927adantl 466 . . . 4  |-  ( ( W  e. Toset  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( Ws  A
)  e.  Mnd )
60 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Ws  A ) )  =  ( Base `  ( Ws  A ) )
61 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( Ws  A ) )  =  ( 0g
`  ( Ws  A ) )
6260, 61, 47, 28, 29isarchi2 26200 . . . 4  |-  ( ( ( Ws  A )  e. Toset  /\  ( Ws  A )  e.  Mnd )  ->  ( ( Ws  A )  e. Archi  <->  A. x  e.  (
Base `  ( Ws  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) ) )
6358, 59, 62syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e. Toset  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( ( Ws  A )  e. Archi  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) ) )
6463adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e. Archi )  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( ( Ws  A )  e. Archi  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Ws  A ) ) ( ( 0g `  ( Ws  A ) ) ( lt `  ( Ws  A ) ) x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  ( Ws  A ) ) ( n (.g `  ( Ws  A ) ) x ) ) ) )
6557, 64mpbird 232 1  |-  ( ( ( W  e. Toset  /\  W  e. Archi )  /\  A  e.  (SubMnd `  W )
)  ->  ( Ws  A
)  e. Archi )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    \ cdif 3323    C_ wss 3326   class class class wbr 4290    _I cid 4629   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   NNcn 10320   NN0cn0 10577   Basecbs 14172   ↾s cress 14173   lecple 14243   0gc0g 14376   ltcplt 15109  Tosetctos 15201   Mndcmnd 15407  .gcmg 15412  SubMndcsubmnd 15461  Archicarchi 26192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-seq 11805  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-ple 14256  df-0g 14378  df-poset 15114  df-plt 15126  df-toset 15202  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-inftm 26193  df-archi 26194
This theorem is referenced by:  nn0archi  26309
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